Si los infinitos cardinales aleph-null, aleph-dos, etc. continúan indefinidamente, ¿tiene algún sentido la idea de aleph-aleph-null?

Question

Si los infinitos cardinales aleph-null, aleph-dos, etc. continúan indefinidamente, ¿tiene algún sentido la idea de aleph-aleph-null?

Disculpa si no es una pregunta sensata, realmente no sé mucho sobre estos cardenales infinitos aparte de lo básico. Sin embargo, pensé que la idea del número "aleph-null "th era lo suficientemente interesante como para basar mi nombre de usuario y mis propios intentos no resultaron fructíferos, así que me preguntaba si alguien aquí podría arrojar algo de luz. Gracias.

Para mayor claridad: Estoy preguntando sobre $\aleph_{\aleph_0}$ . Gracias.

P.D. Estaba algo inseguro sobre las etiquetas para esto, lo siento si accidentalmente lo puse en la categoría equivocada.

Answer 1

Me gustaría profundizar en algunos de los puntos delicados que ha planteado Arthur.

El $\aleph$ números (también el $\beth$ números) se utilizan para denotar cardenales . Sin embargo, una de las características clave de los cardenales es que podemos decir "el siguiente cardenal", y podemos decir qué cardenal fue el primero y cuál fue el segundo. Estos son ordinal propiedades.

Obsérvese que el menor cardinal mayor que $\aleph_{\aleph_0}$ también tiene contablemente muchos cardenales [infinitos] más pequeños que él mismo. Pero como $\aleph_0+1=\aleph_0$ ¿Qué sentido tiene eso?

Así que estamos usando los ordinales. Es un punto fino, porque las nociones finitas coinciden, los cardinales finitos son los ordinales finitos, y no es hasta que llegamos a los ordinales infinitos que nos encontramos con la diferencia entre $\omega$ y $\aleph_0$ .

Por lo tanto, en lugar de $\aleph_{\aleph_0}$ tenemos $\aleph_\omega$ entonces tenemos $\aleph_{\omega+1}$ y así sucesivamente. Después de haber pasado por incontables de estos, finalmente tenemos $\aleph_{\omega_1}$ , donde $\omega_1$ es el ordinal menos incontable -- que corresponde a $\aleph_1$ .

Y así sucesivamente. Para cada ordinal $\alpha$ tenemos $\aleph_\alpha$ es el único cardinal que los infinitos cardinales por debajo de él tienen el mismo tipo de orden que $\alpha$ .

Answer 2

Sí, casi siempre. Es el menor cardinal para el que hay infinitos cardinales por debajo. Y se suele denotar $\aleph_\omega$ . (Donde $\omega$ denota el menor infinito ordinal Por supuesto, $\omega = \aleph_0$ , pero utilizamos $\omega$ para indicar que estamos interesados en ordinal propiedades de este objeto. Otra descripción para $\aleph_\omega$ es que es el $\omega$ o el único cardenal tal que el orden-tipo de la familia de todos los cardinales infinitos por debajo de él es $\omega$ .)

Answer 3

Sí, tenga en cuenta que $\aleph_1$ puede interpretarse como que hay un cardinal ( $\aleph_0$ ) más pequeño que él. Del mismo modo, hay 100 números cardinales más pequeños que $\aleph_{100}$ ( $\aleph_0, \aleph_1, \dots, \aleph_{99}$ ).

La lista infinita más pequeña de cardenales es por tanto $\aleph_{\aleph_0}$ también se denota $\aleph_{\omega}$ .

Incluso podemos seguir con $\aleph_{\aleph_{\aleph_0}}$ (la lista infinita más pequeña de las listas infinitas más pequeñas de cardenales) y así sucesivamente.

Answer 4

Me doy cuenta de que esta pregunta ha sido respondida, pero me gustaría proporcionar una forma de visualizar $\aleph_\omega$ y $\aleph_{\omega_\omega}$ :

Comience con $\aleph_0$ y considerar la secuencia $\aleph_0, \aleph_1,... \aleph_n,...$ para $n \in \omega.$

Se trata de una secuencia creciente estrictamente monótona que tiene un límite, a saber $\aleph_\omega$ , lo que haría que $\aleph_\omega$ el límite cardinal incontable más pequeño. Este número tiene aplicaciones. Ejemplo: si GHC se mantiene y $\aleph_\lambda = \beth_\lambda$ para todos $\lambda$ entonces $|V_{\omega +\omega}|=\beth_\omega=\aleph_{\omega}$ . En otras palabras $\aleph_\omega$ sería la cardinalidad del universo von Neumann $V_{\omega +\omega}$ que es un universo suficiente para la mayoría de las matemáticas ordinarias, y es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo.

En cuanto a $\aleph_{\omega_\omega}$ , considere la secuencia $\aleph_\omega, \aleph_{\omega+1},...,\aleph_{\omega^2},...,\aleph_{\omega^\omega},...,\aleph_{\epsilon_0},...$

Obsérvese que también se trata de una secuencia creciente estrictamente monótona que es contable, cuyo supremum es un $\aleph_{\omega_1}$ . Siguiendo así se obtiene $\aleph_{\omega_1}, \aleph_{\omega_2},...,\aleph_{\omega_n},...$ cuyo límite es $\aleph_{\omega_\omega}$