$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ coeficientes en la homología

Question

No veo el punto en el uso de homología y cohomology con coeficientes en el campo de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

¿Puede darnos algunos ejemplos de por qué esto es útil?

Answer 1

Aquí es otro para agregar a la lista: actualmente estoy leyendo acerca de cohomology de las operaciones, en particular la Steenrod plazas.

Estas son las funciones de

$$\operatorname{Sq^i}:H^k(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^{k+i}(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$

que satisface un montón de agradable propiedades (o axiomas dependiendo de cómo uno mira las cosas)

Adams utilizar estos cohomology operaciones para resolver los campos vectoriales en las esferas problema.

Véase el excelente libro por Mosher Y Tangora "Cohomology Operaciones y Aplicaciones en Hommotopy Teoría" para los detalles

Answer 2

1. Muchas veces es más fácil trabajar con $\mathbb Z_2$ de los coeficientes. Usted no tiene que preocuparse acerca de signo y los cálculos son más fáciles.

2. Campo coeficientes son agradables porque no es precisa la dualidad entre homología y cohomology, sin tener que preocuparse acerca de el universal coeficiente teorema.

3. Conocimiento de $\mathbb Z_2$ coeficientes pueden ayudar a decir cosas acerca de integral de homología. Por ejemplo, si $H_i(X;\mathbb Z_p)=0$ para todos los números primos $p$,$H_i(X;\mathbb Z)=0$.

4. Algunos espacios tienen una mejor presentación con $\mathbb Z_2$ de los coeficientes. El cohomology anillo de $H^*(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z_2)$ es isomorfo a $\mathbb Z_2[x]/x^{n+1}$, mientras que la integral cohomology anillo es más complicada de escribir.