Escriba $\omega = f(r,\theta) \, dr + g(r,\theta) \, d\theta$ en coordenadas polares. La observación crucial es la siguiente:
La integral de $\omega$ a lo largo de un rayo que emana de $0$ ¡no depende de la elección particular del rayo!
Para el rayo $R_\theta = \{(r\cos\theta,r\sin \theta)\mid r>0\}$ tenemos $\int_{R_\theta} \omega = \int_0^\infty f(r,\theta) \, dr$ . Por la cerrazón de $\omega$ tenemos $\frac{\partial f}{\partial \theta} = \frac{\partial g}{\partial r}$ . Ahora bien, esto implica
$$\frac{d}{d\theta} \int_{R_\theta} \omega = \frac{d}{d\theta}\int_0^\infty f(r, \theta) \, dr = \int_0^\infty \frac{\partial f(r, \theta)}{\partial \theta} \, dr = \int_0^\infty \frac{\partial g(r, \theta)}{\partial r} \, dr = 0$$
donde el soporte compacto de $\omega$ se utilizó en la última igualdad. Así que, efectivamente, $\int_{R_\theta} \omega$ es independiente de $\theta$ . Por lo tanto, concluimos
$$\int_{\mathbb R^2\setminus \{0\}} \omega \wedge \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^\infty f(r,\theta) \, dr \, d\theta = \int_0^\infty f(r,0)\, dr = \int_{\{(r,0)\mid r>0\}} \omega$$ es decir $\frac{d\theta}{2\pi}$ es el dual de Poincaré de $\{(r,0)\mid r>0\}$ (y de cualquier otro rayo que emane de $0$ ).
