Una simple pregunta sobre simplex

Question

Dejemos que $S \subset \mathbb{R}^n$ ser un $n$ -simplemente. Sea $a_0,\dots, a_n$ sean los vértices de $S$ . Definir $L_i\subset \mathbb{R}^n$ sea el hiperplano que toca a $S$ en $a_i$ y paralelo al casco convexo de $\{a_1,\dots,a_n\}\setminus \{a_i\}$ .

¿Cómo puedo ver que la región $B$ limitado por $L_0,\dots,L_n$ es un simplex similar a $S$ ?

Answer 1

Permítanme intentar ampliar (¡y arreglar!) mi comentario en una respuesta:

Si $a=a_0+\cdots+a_n$ Afirmo que la similitud $$ \begin{array}{rccc} F:&\mathbb{R}^n&\longrightarrow&\mathbb{R}^n\\ &v&\longmapsto& -nv+a \end{array} $$ envía $S$ a $B$ . Para demostrarlo veremos que $F(a_i)$ se encuentra en todos los hiperplanos excepto en $L_i$ lo que significa que $F(a_i)$ es un vértice de $B$ .

Dejemos que $j\neq i$ ¿es cierto que $F(a_i)\in L_j$ ? Esto sucede si $F(a_i)-a_j$ es paralelo al hiperplano definido por $\{a_0,\ldots,a_n\}\setminus\{a_j\}$ que es el hiperplano generado por el $n-1$ vectores $$a_0-a_i,\ldots,\widehat{a_j-a_i},\ldots,a_n-a_i.$$ La suma de todos ellos da como resultado $a-a_i-a_j-(n-1)a_i=-na_i+a-a_j=F(a_i)-a_j$ .