Como referencia, este es el Problema 6.2 en Albiac y Kalton de los Temas en el Espacio de Banach de la Teoría
La cuestión consiste en una prueba directa de Khintchine la Desigualdad. En la parte (1), vamos a demostrar que $\cosh(t)\leq e^{t^2/2}$ todos los $t\in\mathbb{R}$. La parte (2) (creo que no necesito, pero para el paso estoy atascado en) es mostrar que para $p\geq1$, $t^p\leq p^pe^{-p}e^t$ para asumo $t>0$. Estos pasos que he hecho.
La parte estoy atascado en es esta: Vamos a $(\varepsilon_n)_{n=1}^\infty$ ser una secuencia de Rademachers (es decir, independiente de las variables aleatorias tomando en valores de $\pm1$, con igual probabilidad), y deje $(a_k)_{k=1}^\infty\subset\mathbb{R}$ tal que $$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^2=1$$ and define $$f=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k\varepsilon_k$$
Queremos mostrar que $$\mathbb{E}(e^f)\leq e$$ (Si tienes alguna duda, esta es la expectativa sobre el epsilons).
Aquí ha sido mi intento hasta ahora: $$\mathbb{E}(e^f)=\mathbb{E}\left(\exp\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k\varepsilon_k\right)\right)=\mathbb{E}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\prod}}\exp(a_k\varepsilon_k)\right)=\underset{k=1}{\overset{n}{\prod}}\left(\mathbb{E}\exp(a_k\varepsilon_k)\right)\leq\underset{k=1}{\overset{n}{\prod}}\left(\mathbb{E}(2\cosh(a_k\varepsilon_k))\right)$$ la segunda a la última igualdad es por la independencia, y la última desigualdad de aquí se sigue de la definición de $\cosh$. A continuación, por la parte (1), tenemos $$\leq\underset{k=1}{\overset{n}{\prod}}\left(\mathbb{E}\left(2\exp\left(\frac{a_k^2\varepsilon_k^2}{2}\right)\right)\right)$$ Pero desde $\varepsilon_k^2=1$ todos los $k$, y podemos mover la expectativa hacia afuera, y poner el producto en el exponente como una suma, nos saldrá algo como $$2^n\exp\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{a_k^2}{2}\right)=2^n\exp\left(\frac{1}{2}\right)$$ by assumption on the sum of $a_n^2$. Así que esto no se dé la desigualdad que queremos.
Cualquier sugerencia o sugerencias se agradece (por ser suave, yo estoy lejos de ser conocedor de la teoría de la probabilidad)
