Bob es débil. A Bob le será más difícil hacer el trabajo de levantar la vara de medir, porque Bob es frenado por la dilatación del tiempo gravitacional.
La forma correcta de responder a esto es considerar las coordenadas de Rindler para un marco de aceleración, donde la métrica es
$$ r^2 d \tau ^2 + dr^2 $$
La coordenada "dr" es la distancia radial, e integrándola se obtiene la longitud del metro. El factor r^2 delante de $d \tau $ es el cuadrado del factor de desplazamiento al rojo. La longitud de la vara de medir no varía para todos los valores de r, suponiendo que es insignificantemente elástica en el rango de campos gravitatorios considerados, de modo que r varía entre dos grandes valores. La aproximación de Rindler es una descripción local válida del campo gravitatorio, en una región lo suficientemente pequeña como para que la curvatura no sea importante.
Si colocas dos espejos a dos valores de r, y dejas que un fotón rebote de un lado a otro entre los dos espejos, la respuesta se hace obvia. Cuando el fotón golpea el espejo inferior, es más energético, y empuja la varilla del medidor hacia abajo en una gran cantidad, luego cuando golpea el espejo superior, es menos energético, y empuja la varilla del medidor hacia arriba en una cantidad menor, pero el centro de masa de la varilla sobre un ciclo de fotones no se mueve.
Además, los rebotes de ida y vuelta del fotón dan una cantidad igual de empujes por unidad tau en ambos lugares (esto queda claro por el hecho de que tau es un vector de destrucción para la métrica, de modo que el proceso es tau estacionario cuando se promedia a lo largo de muchos ciclos). Pero una unidad de tau en la posición de Bob es más corta que una unidad de $ \tau $ en la posición de Alicia, así que hay más empujes fuertes por unidad de tiempo en la posición de Bob, equilibrando los menos empujes débiles en la posición de Alicia.
Cada uno de estos efectos va como la raíz cuadrada del componente de tiempo de la métrica, de modo que Bob es más débil por la relación de su $r^2$ al valor de Alice de $r^2$ .
Desde el punto de vista de Minkowski, para mantener la aceleración de la vara de medir, hay que volcar una cierta cantidad de impulso por unidad de tiempo propio en la vara. Pero no es necesario empujar tan fuerte en la parte superior para hacer esto, tanto porque el tiempo adecuado es más largo allí, por lo que no necesitas poner tanta energía por segundo (porque tu segundo cuenta para más), y porque la energía que pones en el palo se pone azul cuando llega al centro de la masa, por lo que te está dando más impulso por patada. El efecto es como el cuadrado del factor de dilatación del tiempo, de dos efectos cooperativos.
