Es el esquema de Fermat $x^p+y^p=z^p$ siempre normal

Question

Deje $K$ ser un campo numérico con el anillo de enteros $O_K$.

Es el cierre subscheme $X$ $\mathbf{P}^2_{O_K}$ dado por la ecuación homogénea $x^p+y^p=z^p$ normal?

Sé que esto es cierto si $K=\mathbf{Q}$. (Mi método de prueba es un poco incómodo.)

Espero que la respuesta sea no (por desgracia) en general. ¿Qué es una ecuación para la normalización de $X$? En otras palabras, ¿qué es una ecuación para la normalización de $\mathbf{P}^1_{O_K}$ en el campo de función de $\mathrm{Proj}K[x,y,z]/(x^p+y^p-z^p)$?

Tenga en cuenta que la única dificultad que se plantea modulo $p$. La fibra es reducido.

Answer 1

Esta respuesta amplifica algunas de QiL observaciones en los comentarios de arriba:

Para investigar esta cuestión, puede utilizar Serre del criterio: normal $= R_1 + S_2$.

En este caso, su esquema es un proyectiva hipersuperficie, así Cohen--Macaulay, y así, en particular,$S_2$. Así que el único problema es $R_1$. Ahora el codimension uno de los puntos de vivir en el genérico de fibra, que es lisa, o son genéricos puntos en una de las fibras especiales.

Por lo que se reduce a calcular el anillo local alrededor de un punto genérico en positivo característico. Como nota, si esta característica es diferente de $p$ luego de la fibra lisa. En particular, es genéricamente suave (lo que es equivalente, de forma genérica reducido, o, equivalentemente, $R_0$) y todo es bueno. Así que usted se reducen a los genéricos de puntos en el carácter. $p$ fibras. Aquí usted puede esperar para calcular de forma explícita:

Usted puede trabajar en afín coords. donde la curva es $x^p + y^p = 1$, por lo que su problema es determinar si el anillo de $O_K[x,y]/(x^p + y^p -1)$ es regular después de localizar en el primer ideales dividiendo $p$. La reducción de mod $p$, se están preguntando si el mínimo de los números primos del anillo de $(O_K/p)[x,y]/(x+y - 1)^p$ son prinicipal.

Permítanme asumir que no hay un único prime en $O_K$ sobre $p$, sólo para calmar mi escribir.

Si $O_K/p$ es un campo de $k$ ($p$ es unramified), tendrá que estar en buena forma, desde el primer mínima de $k[x,y]/(x+y-1)^p$ es generado por $x+y-1$. Pero si $p$ es ramificado, de grado $e$, entonces usted consigue problemas: necesita dos generadores: $(x+y - 1)$ y algunos nilpotent $\pi$ tal que $\pi^e = 0$.