si $X$ es un espacio topológico, un primer paso en la elaboración de $X$ hausdorff es tomar el cociente $H(X)=X/\sim$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia generada por: si $x,y$ no pueden ser separados por distintos bloques abiertos, a continuación,$x \sim y$. observar que $X$ es hausdorff, al $X \to H(X)$ es un isomorfismo, y que para cada espacio de hausdorff $K$ el mapa de $Hom(H(X),K) \to Hom(X,K)$ inducida por la proyección de $X \to H(X)$ es bijective.
por una bastante general categórica argumento, podemos construir a partir de esto el libre functor de espacios topológicos a espacios de hausdorff (es decir, que queda adjunto a la olvidadizo functor): para los números ordinales $\alpha$, definir el functor $H^\alpha$ (junto con las naturales transformaciones $H^{\alpha} \to H^{\beta}, \alpha < \beta$)$H^0 = id, H^{\alpha+1} = H \circ H^\alpha$$H^\alpha = colim_{\delta < \alpha} H^\delta$. para cada espacio topológico $X$ hay un número ordinal $\alpha$ tal que $H^\alpha(X) = H^{\alpha+1}(X)$, $H^\alpha(X)$ es el libre espacio de hausdorff asociados a $X$. definir $h(X)$, el "nonhausdorff dimensión" a ser el más pequeño tal número ordinal $\alpha$. cada número ordinal surge como una nonhausdorff dimensión(!).
Yo he venido para arriba con esto con un amigo y no sabemos de alguna literatura sobre el tema. tal vez alguien de ustedes ya lo ha visto en otro lugar? hay algunas otras preguntas: cada $H^\alpha(X)$ es un cociente de $X$, pero ¿cómo podemos describir la relación de equivalencia explícitamente? ¿qué es la intuición de un espacio de $X$ tener nonhausdorff dimensión $\alpha$? hay clases conocidas de espacios topológicos cuya nonhausdorff dimensión puede ser limitada? y por supuesto: ¿hay algún uso para el nonhausdorff dimensión? ;-)
