Medibles de Cauchy de la Función es Continua

Question

He encontrado esta pregunta aquí Muestran que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ implica $f$ continua $\Leftrightarrow$ $f$ medibles y quiero adaptar la prueba de que t.b había sugerido.No conozco los conceptos de Baire y el grupo separable.Se puede hacer esto por el simple análisis y teoría de la medida mediante el resultado de t.b,tal vez mediante la definición de Una adecuada o de alguna otra manera.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

t.b. menciona el siguiente resultado:

Si $A \subseteq \mathbb{R}$ tiene medida positiva, a continuación, $A - A = \{a - a' \mid a,a' \in A\}$ es una vecindad de cero.

Varias pruebas se discuten en El conjunto de las diferencias para un conjunto de positivo de la medida de Lebesgue.

Teniendo en cuenta esto, podemos demostrar que una Lebesgue medibles homomorphism $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua como sigue:

Basta probar que $f$ es continua en a $0$, por lo que tenemos que mostrar que para cada abierto vecindario $U$$0$, su pre-imagen de $f^{-1}(U)$ es un barrio de $0$.

Elegir un conjunto abierto $V \subseteq U$ tal que $V - V \subseteq U$. Mediante una enumeración $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de los números racionales (o cualquier otro contables subconjunto denso de $\mathbb{R}$) tenemos a $\mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (q_n + V)$ y por lo tanto también es $\mathbb{R} = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} f^{-1}(q_n + V)$.

Desde $f$ es medible, los conjuntos de $W_n = f^{-1}(q_n + V)$ son medibles, y desde $\mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^\infty W_n$, al menos uno de ellos tiene medida positiva. Por lo tanto, $W_n - W_n$ es un barrio de $0$ algunos $n$. Pero $f$ es un homomorphism, por lo $W_{n} - W_{n} \subseteq f^{-1}(V-V) \subseteq f^{-1}(U)$) y hemos demostrado que $f^{-1}(U)$ es un barrio de $0$.