En los enteros $n>1$ de manera tal que cualquier anillo conmutativo con identidad que tiene exactamente $n$ ideales es un PIR

Question

Convenio : Todos los anillos conmutativos con unidad, a menos que se indique lo contrario. Por ideales, vamos a decir incluir a $\{0\}$ $R$ también.

Vamos a llamar a un número entero $n>1$"el número principal" si cualquier anillo de $R$ tener exactamente $n$ ideales es un PIR (a partir de esta respuesta , sabemos que para cualquier $n>1$ existe una correspondiente PIR, aquí queremos que todos los correspondientes anillos de ser PIR). Yo sé que cualquier anillo de $R$ tener $5$ o menos ideales es un PIR, así que sin duda alguna $n \le 5$ es un número principal.

Mi pregunta es:

Hay infinitamente muchos de los principales números? Hay infinitamente muchos enteros positivos que no son el número principal? Podemos de alguna manera de caracterizar los principales números?

Por favor, ayudar. Gracias de antemano.

Answer 1

Para demostrar que existen infinitos números enteros positivos que no son principales, es suficiente para exhibir infinitamente muchos enteros positivos $n$ tal de que no existe un no-principal anillo con $n$ ideales. Esto es sencillo y se puede hacer de muchas maneras; aquí está uno.

Deje $R = \mathbb{F}_q[x, y]/(x^2, xy, y^2)$. Este anillo no es principal debido a $m = (x, y)$ no es principal, y tiene exactamente $q + 4$ de los ideales, de la siguiente manera. Junto a la unidad ideal $(1)$, estos ideales corresponden a los subespacios de $\text{span}(x, y)$, de los cuales hay $q + 3$: $1$ cero-dimensional, $q + 1$ unidimensional, y $1$ dos dimensiones.

Esto significa que $n = q + 4$ no es principal cuando $q$ es una fuente primaria de energía. Esta secuencia comienza

$$6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 20, \dots$$

Por tomar el producto de los anillos de arriba con los anillos de $\mathbb{F}_q[x]/x^k$ que puede además mostrar que $n$ no es principal cuando es divisible por un número de la forma $q + 4$, $q$ una fuente primaria de energía, que creo que más o menos ya implica que casi todos los enteros positivos no son principales (en el sentido de que el director de números enteros positivos tienen la densidad de $0$).

Diversas modificaciones de esta construcción se puede hacer, pero no he sido capaz de obtener la multa de un control sobre el número resultante de ideales como me gustaría. Sospecho que incluso podría ser cierto que cada entero positivo $n \ge 6$ no es principal, pero estoy bastante lejos de mostrar esto. Ahora el menor de dos números no sé el estado de se $n = 10, 19$.