Buscando función de $f$ tal que $f'<0$ $(xf)'>0$

Question

Estoy buscando una función de $f(x)$ con las siguientes propiedades para $x\ge 0$: $$0\le f(x)\le 1$$ $$f(0)=1$$ $$f'(x)\le 0$$ $$f(x)+xf'(x)\ge 0$$ $$\lim_{x\to\infty} xf(x)=L$$ donde $L$ es una constante positiva. Básicamente quiero $xf(x)$ inicialmente aproximado de $x$ y, a continuación, el nivel de a $L$. Los candidatos son: $$f(x)={1\over 1+x/L}$$ $$f(x)={\tanh (x/L) \over x/L}$$ pero ninguno de estos tiene un parámetro adicional que me permite controlar la velocidad de $xf(x)$ enfoques $L$, manteniendo la pendiente inicial de $xf(x)$ igual a $1$. Esto es lo que me gustaría, idealmente.

La motivación para esto: $f(x)$ puede ser considerado como una eficiencia con $x$ la entrada y $xf(x)$ la salida. El sistema es perfectamente eficiente en cero de entrada y disminuciones en la eficiencia con el aumento de la entrada, pero nunca llegas a menos de salida de más de entrada.

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

$$f(x)=\frac{1}{2x}\left(1-\frac{1}{(x+1)^2}\right)=\frac{x+2}{2(1+x)^2} $$ cumple con las restricciones dadas: $f$ es acotada entre $0$ $1$ en $\mathbb{R}^+$, $f(0)=1$, $f$ está disminuyendo, $xf$ es creciente y $L=\frac{1}{2}$. Paramétrico de la familia está dada por:

$$ f_a(x) = \frac{a^3}{2x}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{(x+a)^2}\right)=\frac{a(2a+x)}{2(x+a)^2} $$

con $\color{red}{L=\frac{a}{2}}$ cualquier $a>0$.