Diferentes enfoques para el problema de N bolas y m cajas

Question

Supongamos que tienes N bolas indistinguibles que se distribuirán en m cajas (las cajas están numeradas del 1 al m). ¿Cuál es la probabilidad de que la caja i-ésima esté vacía (donde la caja i-ésima es la caja con el número i) dado que las bolas tienen las mismas posibilidades de llegar a cualquier caja?

Encontré dos enfoques diferentes para resolver este problema (que publico a continuación). Dado que cada uno de ellos lleva a una solución diferente, estoy teniendo dificultades para encontrar cuál es incorrecto. Estoy bastante seguro de que el primer enfoque es correcto ya que sigue la forma 'estándar' de resolver problemas que involucran bolas indistinguibles, pero no puedo encontrar el error en el segundo. Agradecería mucho cualquier ayuda que puedas brindar para resolver esta duda.

(1) Primer enfoque: (Bosones) El número de formas de distribuir N bolas indistinguibles en m cajas es igual a: $$\binom{N + m -1}{N}=\frac{(N + m - 1)!}{N!(m-1)!} $$ Por otro lado, el número de formas de distribuir las bolas dejando la caja i-ésima vacía se puede obtener dejando la caja i-ésima vacía y distribuyendo las N bolas en las restantes m - 1 cajas. Esto es igual a: $$\binom{N + m - 2}{N}=\frac{(N + m - 2)!}{N!(m-2)!}$$ Por lo tanto, la probabilidad de que la caja i-ésima esté vacía es el cociente del segundo número por el primero: $$\frac{(N + m - 2)!}{N!(m-2)!}.\frac{N!(m-1)!}{(N + m - 1)!}=\frac{m-1}{N + m - 1}$$ (2) Segundo enfoque: (Contando funciones) Supongamos que antes de distribuir las bolas en las cajas las numeramos del 1 al N. Entonces para cada bola, el número de formas de distribuir esa bola en las m cajas es m. Así que el número de formas de distribuir N bolas en m cajas es: $$m^N$$ Si queremos distribuir N bolas numeradas en m cajas dejando la caja i-ésima vacía, cada bola solo puede ir a las m-1 cajas restantes. Por lo tanto, el número de formas en que se puede hacer esto es: $$(m-1)^N$$ Y la probabilidad deseada será el cociente: $$\left(\frac{m-1}{m}\right)^N \neq \frac{m-1}{N + m - 1}$$

Muchas gracias por tu tiempo.

Answer 1

Nota: La formulación de esta pregunta debe considerarse cuidadosamente para encontrar el enfoque correcto.

La situación describe $N$ bolas indistinguibles que deben distribuirse en $m$ cajas distinguibles.

Observar un ejemplo simple como sugiere @MickA a menudo es un buen punto de partida. Veamos un ejemplo con $N=2$ bolas indistinguibles y $m=2$ cajas distinguibles. Entonces, después de distribuir las $2$ bolas en las $2$ cajas, podemos ver uno de los tres resultados posibles:

\begin{array}{rcl} \text{Caja $1$} &|& \text{Caja $2$} \\ \hline \bullet\;\bullet &|& \\ \bullet &|& \bullet \\ &|&\bullet\; \bullet \end{array}

Observamos que si la pregunta hubiera solicitado algo como

• número de posibles resultados o

• número de configuraciones diferentes

El enfoque sería según el primer método

\begin{align*} \binom{N+m-1}{N}\tag{1} \end{align*}

lo cual respeta el hecho de que las bolas son indistinguibles y las cajas son distinguibles.

¡Pero esta no es la pregunta! El texto crucial es:

... dado que las bolas tienen iguales posibilidades de llegar a cualquier caja.

Por lo tanto, tenemos que contar el número de llegadas posibles

\begin{array}{rclcc} \text{Caja $1$} &|& \text{Caja $2$} &|& \text{Nr de posibilidades}\\ &|& &|& \text{para llegar a esta configuración}\\ \hline \bullet\;\bullet &|& &|& 1\\ \bullet &|& \bullet &|& 2\\ &|&\bullet\; \bullet&|& 1 \end{array}

Vemos que contar el número de posibilidades o, equivalentemente, calcular las probabilidades correspondientes

\begin{array}{rclcc} \text{Caja $1$} &|& \text{Caja $2$} &|& \text{probabilidad}\\ &|& &|& \text{para llegar a esta configuración}\\ \hline \bullet\;\bullet &|& &|& 0.25\\ \bullet &|& \bullet&|& 0.50\\ &|&\bullet\; \bullet&|& 0.25 \end{array}

es una situación diferente a (1) que lleva al segundo enfoque

$$m^N$$

Resultado:

Por lo tanto, finalmente obtenemos la probabilidad:

$$\left(\frac{m-1}{m}\right)^N$$

Answer 2

En el segundo enfoque no impones la indistinguibilidad. El segundo enfoque es correcto en las configuraciones prácticas habituales. Incluso si no consideramos que las bolas sean distinguibles, en principio son físicamente distinguibles.

En el primer enfoque donde las bolas son realmente indistinguibles, estás asumiendo efectivamente que las bolas idénticas están en un estado cuántico que tiene amplitudes iguales para todos los posibles estados de números. En comparación con el segundo caso, obtienes una mayor probabilidad de que las bolas terminen en la misma caja, lo cual es de esperarse para los bosones.

Answer 3

Deberías utilizar el enfoque $2$ para este problema. La diferencia entre los dos enfoques está en la probabilidad de obtener un número dado de bolas en una caja dada. Si las probabilidades de obtener $0,1,2,\ldots$ bolas en una caja dada son las mismas/uniformes, entonces utiliza el enfoque $1$. Para este problema en particular eso no es cierto.

Toma un ejemplo simple de tu problema con $N=2$ bolas (numeradas $1,2$) y $m=2$ cajas. Los posibles resultados, todos igualmente probables, son:

\begin{eqnarray*} \text{Caja $1$} &|& \text{Caja $2$} \\ \hline 1\; 2 &|& \\ 1 &|& 2 \\ 2 &|& 1 \\ &|& 1\; 2 \end{eqnarray*}

Las siguientes probabilidades, al ser desiguales, significan que el enfoque $1$ falla:

\begin{eqnarray*} P(\text{Caja $1$ tiene $0$ bolas}) = \dfrac{1}{4} \\ P(\text{Caja $1$ tiene $1$ bola}) = \dfrac{1}{2} \\ P(\text{Caja $1$ tiene $2$ bolas}) = \dfrac{1}{4} \end{eqnarray*}

El enfoque $1$ (comúnmente llamado "estrellas y barras") se utiliza a menudo para problemas de conteo que no involucran probabilidades, como aquellos de la forma "Encuentra el número de soluciones para $x_1 + x_2 + x_3 = 10$ con $x_1,x_2,x_3$ enteros no negativos".

Answer 4

Mientras que el primer resultado parece correcto, aquí hay otro enfoque que corrobora la validez del segundo resultado.

El número $X$ de bolas en la caja $i$-ésima es una variable aleatoria binomial con parámetros $p=\dfrac{1}{m}$ y $n=N$. (El proceso puede ser pensado de manera equivalente al de un jugador de baloncesto que va a lanzar $N$ tiros libres e intenta acertar un objetivo con probabilidad $1/m$. Debido a la independencia entre diferentes "lanzamientos", la distribución binomial es la distribución apropiada para describir el proceso de manera probabilística.)

La probabilidad requerida es $$P(X=0)=\dbinom{N}{0}\left(\dfrac{1}{m}\right)^0\left(1-\dfrac{1}{m}\right)^{N-0}=\left(\dfrac{m-1}{m}\right)^N$$

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Edit1: El problema con el primer enfoque es que falsamente asume que todos los resultados son equiprobables. Es cierto que existen $$\binom{N+m-1}{N}=\dfrac{(N+m-1)!}{N!(m-1)!}$$ maneras de distribuir $N$ bolas indistinguibles en $m$ cajas, pero cada manera no ocurre con la misma probabilidad.

Por ejemplo, una manera es que todas las $N$ bolas caigan en una caja. Entonces la distribución se ve así $$(N,0,0,\ldots,0)$$ y hay $m$ maneras en que esta distribución pueda ocurrir, una para cada caja. Ahora supongamos, para simplificar, que $N=2m$ y consideremos la distribución donde el mismo número de bolas cae en cada caja. Esta distribución se ve así $$(2, 2, 2, \ldots, 2)$$ ¡pero ahora solo hay $1$ manera en que esta distribución pueda ocurrir! Este aspecto no se tiene en cuenta en el primer enfoque y por lo tanto arroja un resultado incorrecto.

Answer 5

Count Iblis tiene razón, pero un comentario: en matemáticas y teoría de la probabilidad no es necesario preocuparse por la física cuántica y los Bosones. La respuesta a qué cálculo es correcto depende de cómo defines el espacio de probabilidad (es decir, al declarar explícitamente cuál es tu conjunto de configuraciones y cuáles son sus probabilidades). Dependiendo de qué configuraciones consideres como iguales, obtienes espacios de probabilidad correspondientes a cada una de tus soluciones.