¿Qué tipo de estructura en el espacio de las funciones en $X$ (o el concepto cartesiano de la exponenciación de $X$) hereda de $X$?

Question

Cuando se trata de un espacio de $X$, que poseen una gran cantidad de estructura (completa celosía, espacio métrico completo, espacio vectorial), ¿qué puede decirse acerca de la cartesiano exponenciación $X^Y=\{f \mid f:Y\rightarrow X\}$ (que es el conjunto de funciones a partir de otro conjunto $Y$$X$)?

Es intuitivly claro, que el punto de sabio versiones de operaciones y relaciones en $X$ llevan más de que muchas de las propiedades de $X$$X^Y$. (por ejemplo, $X^Y$ es también un espacio vectorial con punto de sabio de la adición y la multiplicación, es, además, un completo entramado con el punto de sabio o de pedido de producto. También es un espacio métrico completo bajo el máximo (o punto) de la métrica).

Hay un campo de las matemáticas, que tiene que ver con esta particular el intercambio de estructura entre un espacio de $X$ y su función de espacio de $X^Y$?

O más pragmáticamente, ¿qué resultados puedo utilizar, con el fin de que me sobra la prueba de estos 16 en su mayoría trivial y poco profundas implicaciones (8 de espacio vectorial, 3 por orden parcial + 1 exhaustividad, 3 para la métrica + 1 completemess)?

Answer 1

Para estructuras algebraicas (por ejemplo, espacios vectoriales, completa celosías) y estructuras relacionales (por ejemplo, posets), o más en general, los modelos de una teoría cartesiana $\mathbb{T}$ (por ejemplo, categorías), el producto de una arbitraria de la familia de $\mathbb{T}$-modelos de nuevo un $\mathbb{T}$-modelo con las componentes de las operaciones y relaciones. Esto es más fácil de comprender en el caso de que $\mathbb{T}$ es una teoría algebraica, es decir, un primer orden de la teoría a través de una firma, sin relaciones, cuyos axiomas son cuantificador libre de ecuaciones: está claro que una ecuación con las componentes de las operaciones es verdadera si y sólo si es verdadero de las componentes.

Sin embargo, la métrica de los espacios no son estructuras de este tipo. El hecho de que el producto de un número finito de espacios métricos es de nuevo un espacio métrico de una manera natural, no es explicable por el general absurdo – y, de hecho, una señal de que algo sutil que está sucediendo es el hecho de que el sup métrica en el producto de una infinidad de espacios métricos qué no , en general, inducir el producto de la topología. (En cualquier caso, el producto métrica no es un ejemplo de una de las componentes" de la estructura.)

También vale la pena mencionar que el conjunto de la estructura de la preservación de los mapas entre dos estructuras del mismo tipo es, en general, no de una estructura de ese tipo en virtud de las componentes de las operaciones. Por ejemplo, si bien es cierto que el conjunto de homomorphisms entre dos abelian grupos es de nuevo un grupo abelian, no es cierto en general que el conjunto de homomorphisms entre dos anillos es de nuevo un anillo. De hecho, para una ordenada teorías algebraicas $\mathbb{T}$, uno puede mostrar que una necesaria (pero no suficiente) condición para el conjunto de la $\mathbb{T}$-homomorphisms a ser un $\mathbb{T}$-modelo es que $\mathbb{T}$ tiene a lo más una constante símbolo (hasta comprobable igualdad).

Answer 2

La rebanada categoría $\mathbf{C}/C$ es la categoría de las flechas con codominio $C$ e "conmutativa triángulos" entre ellos. En $\mathbf{Set}$, uno puede pensar a $\mathbf{Set}/X$ según la categoría de $X$valores de las funciones.

Un thoerem de Freyd (Teorema 2.1 de Toposes, Triples y Teorías) declara que la propiedad de $\mathbf{C}$ ser un "topos" que $\mathbf{Set}$ disfruta) es heredado por $\mathbf{C}/C$. Para el sector de la categoría tiene una gran estructura, en particular finito (co-)la integridad, la existencia de exponenciales, suboject clasificador así como la Heyting estructura de la red de los subobjetos de la terminal de objeto. Para una rica ejemplificado libro sobre los topoi, ver Goldblatt del libro.

Si su espacio de interés es un topos, utilizando el resultado anterior puede traduce algunas de las propiedades que estén interesados.

Answer 3

Permítanme reiterar con Zhen Lin escribió, pero en la más clásica de idioma:

La proposición. Deje $\sigma$ denotar un (posiblemente infinitary) algebraica de la firma y supongamos $X$ $I$- indexado de la familia de $\sigma$-estructuras. Supongamos $\eta$ es un (posiblemente infinitary) la identidad en el lenguaje de la $\sigma.$, Entonces si cada $X_i$ satisface $\eta$ , $\prod_{i \in I} X_i$ también satisface $\eta$.

Ahora definir ese $X^I = \prod_{i \in I} X$ cualquier $\sigma$estructura $X$. Entonces tenemos:

Corolario. Deje $\sigma$ denotar un (posiblemente infinitary) algebraica de la firma y supongamos $X$ $\sigma$- estructura. A continuación, cada (posiblemente infinitary) identidad en el lenguaje de la $\sigma$ que es satisfecho por $X$ también está satisfecho por $X^I$.

A excepción de métrica espacios, esto cubre todos los ejemplos que mencionas, incluso completa celosías y otros modelos de infinitary firmas.