La convergencia de un almacén de secuencia con delimitada L2 variación

Question

Tengo la siguiente pregunta, de que un amigo mío me preguntó ayer:

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert, con la norma $\|\cdot\|$. Deje $(x_k)_{k \ge 0}$ ser alguna secuencia en $H$. Suponga que $x_k$ es limitada (por lo que el $\|x_k\| \le C$ todos los $k$), y que $(x_k)$ ha delimitado L2 varianza, es decir, $$\sum_{k \ge 0} \|x_{k+1}-x_k\|^2 < +\infty.$$

¿Es entonces que siga la secuencia de $(x_k)$ converge?

Si no para todos los espacios de Hilbert, entonces

Lo hace, por lo menos, que $(x_k)$ converge para $H=\mathbb{R}^n$?

Answer 1

Si $\sum_k \|x_{k+1}-x_k\| <\infty$ entonces tenemos que $$ x_n = x_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (x_{k+1}-x_k) $$ donde la suma converge absolutamente, por lo tanto converge (en cualquier espacio de Banach).

Esto sugiere un contra-ejemplo: elija su favorito secuencia en la $\mathbb R$ que es la plaza de summable, pero no summable-- como se sugiere más en MathOverflow, la secuencia armónica $(1/n)$ obras. Vamos $$ x_1 = 1, x_2=1-1/2, x_3=1-1/2-1/3, $$ and so forth, until say $-2<x_n<-1$. Then add terms $1/k$ until we get $1<x_m<2$ (for some $m>n$). Now subtract terms until again we are between -2 and -1, then add, and so forth. Then $(x_n)$ is bounded, and for all $k$ we have $x_{k+1}-x_k=\pm 1/(k+1)$ so $\sum_k |x_{k+1}-x_k|^2<\infty$. But as $(x_n)$ lentamente oscila entre 1 y -1, que no converge.