Demostrando que $\cos(\frac{\arctan(\frac{11}{2})}{3}) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación cúbica $x^3-15x-4=0$ utilizando la fórmula de Cardano. Ya sé que las soluciones son $x=4$, $x= \sqrt{3}-2$ y $x= -\sqrt{3}-2$ y que el uso de la fórmula en este problema requiere de la búsqueda de las raíces cúbicas de $2+11i$$2-11i$, que se $2+i$$2-i$. Pero cuando trato de usar la fórmula en mi calculadora, la TI-89 Titanium, llego $2\sqrt 5 \sin \left( \frac{\arctan(\frac{2}{11})}{3}+\pi/3 \right)$ en lugar de $4$. Por alguna razón, el hecho de que $(2+i)^3 = 2 +11i$ $x = 4$ es un cero de $x^3-15x-4$ se siente como un subproducto de algo más. Lo he intentado durante más de un mes para demostrar que $\cos(\frac{\arctan(\frac{11}{2})}{3}) = \frac{2}{\sqrt{5}}$ sin utilizar cualquiera de estos resultados.

Answer 1

El hecho de que usted quiere demostrar que es equivalente a $$ \frac{\arctan\left(\frac{11}{2}\right)}{3} = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right), $$ es decir, $$ \arctan\left(\frac{11}{2}\right) = 3 \arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right), $$ es decir, $$ \frac{11}{2} = \tan\left(3 \arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right)\right). $$

El ángulo de $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right)$ es el ángulo opuesto al cateto en un triángulo rectángulo con las piernas $1$$2$, así $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right) = \arctan\left(\frac12\right)$, y el hecho de que quieren demostrar es, por tanto, equivalente a $$ \tan\left(3 \arctan\left(\frac12\right)\right) = \frac{11}{2}. $$

El uso de la triple ángulo de fórmula $$ \tan(3x) = \frac{3 \tan x - \bronceado^3 x}{1 - 3 \tan^2 x} $$ con $x = \arctan\left(\frac12\right)$, lo $\tan x = \frac12$ y \begin{align} \tan\left(3 \arctan\left(\frac12\right)\right) & = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x} \\ & = \frac{3 \left(\frac12\right) - \left(\frac12\right)^3} {1 - 3 \left(\frac12\right)^2} \\ & = \frac{11}{2} \end{align} que es lo que usted necesita para mostrar.

Answer 2

Comenzando con

$\cos(\dfrac{\arctan(\frac{11}{2})}{3}) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

también significa partir de (cuando triángulo dibujado y Pitágoras aplicado)

$\tan(\dfrac{\arctan(\frac{11}{2})}{3}) = \frac{1}{2}$

Ahora uso el $ \tan 3 \theta = \dfrac{3 t - t^3}{1-3 t^2} \rightarrow \dfrac{11}{2} $ triple ángulo de fórmula y simplificar, de hecho!

Answer 3

Deje $\cos\theta=\frac2{\sqrt5}$. Entonces $$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta=\frac2{5\sqrt5}$$ y así $$\tan3\theta=\frac{\sqrt{(5\sqrt5)^2-2^2}}2=\frac{11}2\ .$$

Answer 4

Si $\cos(\theta / {3} )=x;$ $\cos(\theta) = 4x^3 - 3x$
Si $\tan(\theta) = $$11\over 2$; $\cos(\theta) = $$2\over 5\sqrt{5}$ Ahora, la solución de$ 4x^3 - 3x =$$2\over 5\sqrt{5}$ , Usted obtener x= $2\over \sqrt{5}$

Answer 5

Deje $\theta =\arctan(11/2)$. A continuación, $\cos(\theta)=\frac{2}{5\sqrt 5}$.

Ahora, vamos a $\alpha$ ser dado por $\alpha=3\arccos(2/\sqrt 5)$. El uso de la triple ángulo de fórmula

$$\cos(3x)=\cos^3(x)-3\sin^2(x)\cos(x)$$

nos encontramos con que

$$\begin{align} \cos(\alpha)&=\cos(3\arccos(2/\sqrt 5))\\\\ &=\cos^3(\arccos(2/\sqrt 5))-3\sin^2(\arccos(2/\sqrt 5))\cos(\arccos(2/\sqrt 5))\\\\ &=\frac{8}{5\sqrt 5}-3\left(\frac15\right)\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right)\\\\ &=\frac{2}{5\sqrt 5} \end{align}$$

Por lo tanto, $\alpha = \theta$ y hemos terminado!