Estoy tratando de resolver la ecuación cúbica $x^3-15x-4=0$ utilizando la fórmula de Cardano. Ya sé que las soluciones son $x=4$, $x= \sqrt{3}-2$ y $x= -\sqrt{3}-2$ y que el uso de la fórmula en este problema requiere de la búsqueda de las raíces cúbicas de $2+11i$$2-11i$, que se $2+i$$2-i$. Pero cuando trato de usar la fórmula en mi calculadora, la TI-89 Titanium, llego $2\sqrt 5 \sin \left( \frac{\arctan(\frac{2}{11})}{3}+\pi/3 \right)$ en lugar de $4$. Por alguna razón, el hecho de que $(2+i)^3 = 2 +11i$ $x = 4$ es un cero de $x^3-15x-4$ se siente como un subproducto de algo más. Lo he intentado durante más de un mes para demostrar que $\cos(\frac{\arctan(\frac{11}{2})}{3}) = \frac{2}{\sqrt{5}}$ sin utilizar cualquiera de estos resultados.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?El hecho de que usted quiere demostrar que es equivalente a $$ \frac{\arctan\left(\frac{11}{2}\right)}{3} = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right), $$ es decir, $$ \arctan\left(\frac{11}{2}\right) = 3 \arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right), $$ es decir, $$ \frac{11}{2} = \tan\left(3 \arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right)\right). $$
El ángulo de $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right)$ es el ángulo opuesto al cateto en un triángulo rectángulo con las piernas $1$$2$, así $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right) = \arctan\left(\frac12\right)$, y el hecho de que quieren demostrar es, por tanto, equivalente a $$ \tan\left(3 \arctan\left(\frac12\right)\right) = \frac{11}{2}. $$
El uso de la triple ángulo de fórmula $$ \tan(3x) = \frac{3 \tan x - \bronceado^3 x}{1 - 3 \tan^2 x} $$ con $x = \arctan\left(\frac12\right)$, lo $\tan x = \frac12$ y \begin{align} \tan\left(3 \arctan\left(\frac12\right)\right) & = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x} \\ & = \frac{3 \left(\frac12\right) - \left(\frac12\right)^3} {1 - 3 \left(\frac12\right)^2} \\ & = \frac{11}{2} \end{align} que es lo que usted necesita para mostrar.
Comenzando con
$\cos(\dfrac{\arctan(\frac{11}{2})}{3}) = \frac{2}{\sqrt{5}}$
también significa partir de (cuando triángulo dibujado y Pitágoras aplicado)
$\tan(\dfrac{\arctan(\frac{11}{2})}{3}) = \frac{1}{2}$
Ahora uso el $ \tan 3 \theta = \dfrac{3 t - t^3}{1-3 t^2} \rightarrow \dfrac{11}{2} $ triple ángulo de fórmula y simplificar, de hecho!
Deje $\theta =\arctan(11/2)$. A continuación, $\cos(\theta)=\frac{2}{5\sqrt 5}$.
Ahora, vamos a $\alpha$ ser dado por $\alpha=3\arccos(2/\sqrt 5)$. El uso de la triple ángulo de fórmula
$$\cos(3x)=\cos^3(x)-3\sin^2(x)\cos(x)$$
nos encontramos con que
$$\begin{align} \cos(\alpha)&=\cos(3\arccos(2/\sqrt 5))\\\\ &=\cos^3(\arccos(2/\sqrt 5))-3\sin^2(\arccos(2/\sqrt 5))\cos(\arccos(2/\sqrt 5))\\\\ &=\frac{8}{5\sqrt 5}-3\left(\frac15\right)\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right)\\\\ &=\frac{2}{5\sqrt 5} \end{align}$$
Por lo tanto, $\alpha = \theta$ y hemos terminado!