Un curioso patrón de los números primos congruentes a $1$ mod $4$?

Question

Es sabido que cada prime $p$ que satisface el título de la congruencia puede ser expresado en la forma $a^{2} + b^{2}$ para algunos enteros $a,b$, y la única factorización en $Z[i]$ asegura exactamente un ejemplo de una representación para cada una de las $p \equiv 1 \mod 4$.

Parece que al menos uno de $a-b, a+b$ es siempre un primo ? ¿Hay algún matemático explicación para esto ?

Answer 1

Esto no es cierto para $p=41$ porque, salvo permutaciones y signos, los únicos valores posibles son $a=5$ $b=4$ pero $a-b=1$$a+b=9$, no de los números primos.

Otro contraejemplo es $p=353$, por lo que $a=17$ $b=8$ pero $a-b=9$$a+b=25$, tanto en las plazas!

Aquí están los primeros contraejemplos:

\begin{array}{rccccc} p & a & b & a-b & a+b \\ 41 & 5 & 4 & 1 & 9 \\ 113 & 8 & 7 & 1 & 15 \\ 313 & 13 & 12 & 1 & 25 \\ 353 & 17 & 8 & 9 & 25 \\ 613 & 18 & 17 & 1 & 35 \\ 653 & 22 & 13 & 9 & 35 \\ 677 & 26 & 1 & 25 & 27 \\ 761 & 20 & 19 & 1 & 39 \\ 857 & 29 & 4 & 25 & 33 \\ 977 & 31 & 4 & 27 & 35 \\ \end{array}

Answer 2

Deje $a+b=35$$a-b=9$. Ni es primo.

A continuación,$a=22$$b=13$, y la suma de $(22)^2+(13)^2$ es el primer $653$.

Nota: Para niza ejemplos de aparente patrones que desaparecen cuando nos fijamos en los números más grandes, por favor, véase Richard Hombre es El Fuerte de la Ley de los Pequeños números.