Existencia de modelo para lógicas infinitary

Question

Uno de los problemas de infinitary lógica es que es posible que la compacidad a fallar de una manera espectacular: por ejemplo, uno puede inventar un incoherente conjunto de axiomas cuya adecuada subconjuntos son consistentes. No obstante:

Pregunta. Supongamos que de alguna manera logró demostrar que una teoría de $\mathbb{T}$ (es decir, un conjunto de axiomas) en infinitary lógica es coherente. Lo más supuestos qué necesitamos para demostrar que $\mathbb{T}$ tiene un modelo de conjunto?

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Si permitimos que la no-estándar de la semántica, a continuación, siempre podemos construir un modelo de $\mathbb{T}$, siempre $\mathbb{T}$ satisface varios 'pequeñez' condiciones. Por ejemplo, si $\mathbb{T}$ es una teoría en $L_{\kappa \omega}$, podemos construir un topos de $\mathcal{E}$ que contiene un modelo de $\mathbb{T}$ que es genérico, en el sentido de que el único frases en $L_{\kappa \omega}$ satisfecho por el modelo genérico, son aquellos que se intuitionistically comprobable de $\mathbb{T}$. (Esto fue demostrado por Butz y Johnstone [1998].) Tomando un localic booleano cubierta de $\mathcal{E}$ sería entonces el rendimiento de un valor booleano modelo de valor de $\mathbb{T}$, a pesar de que perdería genericity. (Por supuesto, si $\mathcal{E}$ tiene un punto, a continuación, podemos incluso conseguir un modelo de conjunto.)

Debería ser posible traducir la anterior en la teoría de conjuntos como la construcción de un modelo de $\mathbb{T}$ en un forzando la extensión del universo. Esto parece sugerir que el único obstáculo para tener un modelo de conjunto de $\mathbb{T}$ es la existencia de $\kappa$-completa ultrafilters en ciertos $\kappa$-completa álgebras booleanas construido a partir de $\mathbb{T}$.

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Adenda. He encontrado un modelo teorema de existencia de teorías contables en ciertos contables fragmentos de $L_{\omega_1, \omega}$: ver Teorema 5.1.7 [Makkai y Reyes, de Primer orden categórica de la lógica]. La prueba parece basado en un resultado notable de Rasiowa y Sikorski, relativa a la existencia de lo suficientemente agradable ultrafilters.

Answer 1

La prueba es de Keisler del Modelo de la Teoría de Infinitary la Lógica y el resultado es debido a Makkai, que está estrechamente relacionada con la anterior obra de Henkin y Smullyan:

Fijar un lenguaje de $L$. Ahora vamos a $C$ ser una contables conjunto de nuevas constante de símbolos, y dejar $M$ ser el lenguaje formado por la adición de cada uno $c \in C$ a $L$. Entonces, podemos hacer que la infinitary lógica de $M_{\omega_1 \omega}$ correspondiente a $M$.

Notacional convenio: Para una determinada formula $\varphi$ de $M_{\omega_1 \omega}$, la formula $\varphi \neg$ se define inductivamente como sigue. (Esto se llama "movimiento de la negación en el interior" y no estoy realmente seguro de por qué esto es necesario, ya que nos muestra que $\varphi \neg $ es lógicamente equivalente a $\neg \varphi$)

1) $(\neg \varphi) \neg $ es $\varphi$

2) $(\bigwedge_{\varphi \en \Phi}\varphi)\neg$ es $\bigvee_{\varphi \en \Phi} \neg \varphi$

3) $(\bigvee_{\varphi \en \Phi}\varphi)\neg$ es $\bigwedge_{\varphi \en \Phi} \neg \varphi$

4) $(\forall x\varphi)\neg$ es $\exists x \neg \varphi$

5) $(\exists x\varphi)\neg$ es $\forall x \neg \varphi$

Definición: sea S un conjunto de conjuntos contables de las sentencias de $M_{\omega_1\omega}$. $S$ se dice que es la consistencia de la propiedad iff por cada $s \in S$, todos de los siguientes mantenga.

(C1) (regla de coherencia) $\varphi \no \in s$ o $(\neg \varphi) \no \in s$

(C2) ($\neg$ - regla) Si $(\neg \varphi)\in s$ entonces $s \cup \{\varphi \neg\} \in S$

(C3) ($\bigwedge$ - regla) Si ($\bigwedge \Phi \in s$ para todo $\phi \en \Phi$, $s \cup \{ \varphi \} \in S$

(C4) ($\forall$ - regla) Si ($\forall x \varphi (x)) \in S$, entonces para todo $c \in C$, $s \cup \{\varphi (c)\} \in S$

(C5) ($\bigvee$ - regla) Si $(\bigvee \Phi) \in s$, entonces $\varphi \en \Phi$, $s \cup \{ \varphi \} \in S$

(C6) ($\exists$ - regla) Si $(\exists x \varphi(x)) \in s$, entonces $c \in C$, $s \cup \{\varphi(c)\} \in S$

Ahora, por el término de dólares Básico$ $condiciones$, nos referimos a una constante símbolo o un término de la forma $F(c_1,...,c_n)$ donde $c_1,...,c_n \en C$ y $F$ es un símbolo de función de $L$.

(C7) (Igualdad de Reglas) Vamos a $t$ ser un término básico y $c,d\en C$. Si $(c = d) \in S$, entonces $s \cup \{d =c\} \in S$. Si $c = t$, $\varphi(t) \in s$, entonces $s \cup \{\varphi \} \in S$. Para algunos $e \C$, $s\cup \{e = t\} \in S$.

Teorema: (Modelo Teorema De Existencia). Si $S$ es la consistencia de la propiedad y $s_0 \in S$, entonces $s_0$ tiene un modelo. La prueba no es muy largo, pero es un poco involucrados y hay algunos definición cosas que me han dejado fuera. Esta es, esencialmente, un mini-capítulo (5 páginas) en el libro.