Supongamos $U$ es un abierto acotado conjunto con $C^1$ límite. Es bien conocido el resultado en la teoría de los espacios de Sobolev $W^{1,p}$ que no es un operador lineal continuo $T:W^{1,p}(U)\rightarrow L^p(\partial U )$ que equivale ordinario restricción de funciones continuas. Wikipedia me dice que este operador no es en general surjective. Sé que una manera de demostrar que esto es para mostrar que las funciones en la imagen son en realidad más regular que su general $L^p$-función, y tengo entendido que la prueba de ello. Sin embargo, creo que debe haber algún primaria contraejemplo. De hecho, cualquier función que es una traza de algunos $u\in W^{1,p}(U)$ es un límite de una secuencia de Cauchy de funciones en $C^{\infty}(\bar{U})$ (y viceversa), y que podría ser aprovechado para exponer algún ejemplo donde $T$ no es surjective. ¿Alguien tiene un buen ejemplo?
Respuesta
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Al menos, en el mejor de los casos, es fácil probar que la traza/mapa de restricción pierde ${\ell\over p}+\epsilon$ en "unidades de Sobolev" (por arbitrariamente pequeño $\epsilon>0$) donde codimension es $\ell$. Y una extensión fácil de Sobolev involucración teoremas muestra que (por ejemplo, para $L^2$ espacios de Sobolev así que no me lío la indexación de turno...) $H^{k+{n\over 2}+\epsilon}\subset C^{k,\epsilon}$, siendo este último el $C^k$ funciones con un $\epsilon$ condición de Lipschitz.
Por lo tanto, con $p=2$ $H^1(\Omega)$ mapas a $C^{0,{1\over 2}-\epsilon}(\partial \Omega)$ por cada $0<\epsilon<{1\over 2}$.
