Infinitesimal de rotación de los clásicos campos: ¿por qué la rotación del grupo de representaciones importante?

Question

Entiendo que $SO(3)$ representaciones son importantes en la física cuántica, porque subespacios propios del Hamiltoniano son irreps de $SO(3)$ si es parte de el grupo de simetría. Pero no veo la razón por la que las irreps debe ser esencial para el clásico campo de las teorías.

Mi profesor nos habló acerca de la conservación del momento angular debido a el teorema de Noether. La simetría infinitesimal es

$$ x^\mu \mapsto x^\mu + \omega^{\mu\nu}x_\nu $$

con una matriz asimétrica $\omega$, por lo que el campo se transforma a medida

$$ \phi_i(x) \mapsto {S_i}^j(\omega)\phi_j(x^\mu + \omega^{\mu\nu}x_\nu) $$

donde $S$ es la representación de $SO(3)$, lo que es trivial para campos escalares.

• ¿Por qué son representaciones necesarias para tan infinitesimal de simetría? Para las traducciones, la $x^\mu$ transformación fue suficiente, sin hablar de las representaciones.
• Si el trivial irrep es para escalares, son todos los demás (real) irreps para los vectores, y su tensor de productos de mayor tensores?

Answer 1

Nadie habló acerca de las representaciones de las traducciones, ya que las traducciones no cambiar la base natural para los vectores. Cuando se aplica una rotación, rota los naturales del sistema de coordenadas de sus vectores y tensores están representados en el, así que los campos que son componentes de los que han de cambiar. Traducciones de no cambiar el natural de coordenadas de la base en un punto, de modo que no afecten dichos campos. En otras palabras, nadie hablaba de las representaciones del grupo de traducción debido a que cada campo normalmente pensamos transforma en la representación trivial.

El menor no trivial de la representación irreducible (etiquetada como "spin-1" en el habitual dicción) de $\mathrm{SO}(3)$, lo cual es fundamental la representación, es el vector de la representación (vamos a llamar a su representación en el espacio de $V$). El tensor de representaciones de la fila $(k,l)$ $V\otimes\dots\otimes V\otimes V^*\otimes\dots\otimes V^*$ $k$ factores de $V$ $l$ factores de $V^*$. No son irreductibles, y dividir al menos en la traza, simétrica traceless tensor y antisimétrica tensor de representaciones.

Las representaciones irreducibles de mayor tirada no suelen jugar un papel especial, pero son no para "vectores"! Por ejemplo, en "siguiente" representación etiquetados como "spin-2" es de cinco dimensiones, y es que de los simétrica traceless matrices/rank-2 tensores.