La extensión de grado de residuo de campo.

Question

Deje $k$ ser un campo, y $A$ ser un finitely generadas $k$-álgebra con $\text{dim}(A)\leq 1$. Entonces para un ideal maximal $\mathfrak{m}$$A$, no esta desigualdad $[A/\mathfrak{m}:k]<\infty$?

En realidad, lo que realmente quiero saber es lo siguiente: para un esquema de $X$ finito de tipo más de $k$ $\text{dim}(Z)=1$ para cualquier componente irreducible $Z$$X$. Deje $x\in X$ ser un punto cerrado, y $k(x)$ el residuo de campo en $x$. A continuación,$[k(x):k]<\infty$.

Answer 1

Sí, $[A/\mathfrak{m}:k]<\infty$.

Esto se desprende de Zariski de la versión de la Nullstellensatz: un finitely generado álgebra $B$ sobre un campo $k$ que es en sí mismo un campo satisface $[B:k] \lt \infty$ . Se aplican a $B=A/\mathfrak m$.
Observe que la hipótesis de $\text{dim}(A)\leq 1$ es irrelevante.

La generalización de los esquemas sobre los que "realmente quiere saber" sigue inmediatamente al tomar una afín a abrir la vecindad del punto de cierre $x$ usted está interesado en.
(Una vez más, las consideraciones sobre la dimensión del esquema son irrelevantes)

Referencia
Zariski el resultado es Corolario 5.24, página 67 de Atiyah-Macdonald Introducción al Álgebra Conmutativa.

Editar
En caso de que usted quiere que su propia copia de Atiyah-Macdonald libro, la buena gente de la INTERNACIONAL__LIBROS/DVD enviaremos uno, usado pero en muy buen estado, a precio de ganga de \$6,785.78
Ah, sí, usted tiene que agregar $3.99 para la entrega.