Los puntos de ramificación de la mentira en $\mathbb P^1\left(\overline{\mathbb Q}\right)$

Question

Deje $X$ ser un complejo suave curva proyectiva y supongamos, además, que $X$ se define sobre $\overline{\mathbb Q}$. Ahora considere la posibilidad de un número finito de mapa de $f:X\longrightarrow\mathbb P^1(\mathbb C)$ grado $d$ y definido a lo largo del $\overline{\mathbb Q}$.

Primera pregunta: No entiendo por qué los puntos de ramificación de $f$ (si existen) deben encontrarse en $\mathbb P^1\left(\overline{\mathbb Q}\right)\subseteq\mathbb P^1(\mathbb C)$. En particular, me gustaría ver por qué uno requiere que tanto el mapa de $f$ y la curva de $X$ debe ser definido a lo largo del $\overline{\mathbb Q}$.

Este debe ser un hecho evidente, ya que muchos libros no explican este punto, sino que simplemente lo asumen.

Segunda pregunta: Supongamos que el $X$ es fijo y definido a lo largo del $\overline{\mathbb Q}$ anterior. Siempre es posible encontrar un mapa $f:X\longrightarrow\mathbb P^1(\mathbb C)$ definido a lo largo del $\overline{\mathbb Q}$ con los puntos de ramificación?

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¿Por qué la recompensa: a Pesar de que antes del inicio de la recompensa hubo algunos comentarios y una respuesta, después de algunos días de trabajo, no entiendo la solución a mis problemas. En particular, en un comentario debajo de la respuesta que he señalado dónde está mi problema (agradezco respuestas detalladas). Sin embargo, me disculpo por mi terquedad.

Answer 1

Las ecuaciones del corte de la rama de los puntos se definen en $\overline{\mathbb Q}$, ya que el $f$ es. La rama locus también es cero-dimensional (hay sólo un número finito de puntos de ramificación).

El Nullstellensatz muestra que para cualquier cero-dimensional a través de una variedad de alg. campo cerrado $k$, todos los puntos se definen en $k$.

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Respecto a la segunda pregunta: no-constante de la función racional en $X$ más de $\overline{\mathbb Q}$ da un mapa a $\mathbb P^1$ (que tendrán los puntos de ramificación, a menos que $X$$\mathbb P^1$, y elegimos nuestro morfismos de grado $1$).

Answer 2

Por favor, no acepte esto como la respuesta. Creo que esta pregunta es un gran ejemplo de cómo Grothendieck la teoría de los regímenes de ayuda a uno a pensar este tipo de cosas. Es decir, cuando se trabaja con esquemas puede sucintamente decir lo que significa tener un morfismos $f : X \to Y$ de las variedades sobre cualquier campo de $k$. Suponiendo que $f$ es finito y $X$ $Y$ son suaves, la ramificación de locus de $f$ es un cerrado subscheme $R \subset X$ también se define sobre $k$. Técnicamente, $R$ es el esquema teórico de apoyo de $\Omega_{X/Y}$, lo que significa que a nivel local las ecuaciones de $R$ está dado por el determinante de una matriz de derivadas parciales de ciertas funciones regulares (sobre todo de $k$). [El caso más simple es considerar un morfismos $(f_1, \ldots, f_n) : \mathbf{A}^n_k \to \mathbf{A}^n_k$ $n$ polinomios en $n$ variables y considerar el determinante de la matriz de derivadas parciales.] Finalmente, la rama de locus es $B = f(Z)$ que es un cerrado subscheme de $X$ definido a lo largo del $k$.

Esto no responde a tu pregunta. Suponga que $k \subset K$ es una extensión de algebraicamente cerrado campos. Por ejemplo,$k = \overline{\mathbf{Q}}$$K = \mathbf{C}$. Queremos ver que si ampliamos el campo base de$k$$K$, la ramificación locus no cambia (en algún sentido). Para hacer esto más preciso en que pensamos acerca del cambio de base. Cambio de Base es un functor que a una variedad (o esquema) de $X$ $k$ asocia una variedad (o esquema) de$X_K$$K$. Entonces la pregunta es: ¿por Qué es cierto que $Z_K$ es la ramificación de locus de $f_K : X_K \to Y_K$? La respuesta es, por supuesto, que si el morfismos $f$ a nivel local es dado por algunas funciones regulares (expresado aún más a nivel local polinomios tal vez), entonces el cambio de base de a $f_K$ está dado por las mismas funciones regulares (o polinomios, pero ahora sus coeficientes son vistos como elementos de $K$$k$) y, por tanto, los correspondientes derivados coincidirá así. Una manera más técnica de decir esto es que la formación de $\Omega_{X/Y}$, $R$, y $B$ conmuta con cambio de base.

Por otra parte, en esta configuración una variedad $W$ $K$ puede ser definido a lo largo del $k$ si existe alguna variedad $U$ $k$ tal que $U_K \cong W$, como las variedades de más de $K$. Dado variedades de $X$ $Y$ $k$ podemos preguntar si una de morfismos $g : X_K \to Y_K$ es el cambio de base de un morfismos $f : X \to Y$, etc. En este lenguaje, ya sea o no $W$ o $g$ se define sobre $k$ es un problema de "descenso". Por ejemplo, hay una cantidad no numerable de morfismos $\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}} \to \mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}$ de las variedades de más de $\mathbf{C}$ y sólo countably muchos morfismos $\mathbf{P}^1_{\overline{\mathbf{Q}}} \to \mathbf{P}^1_{\overline{\mathbf{Q}}}$, por lo que la mayoría de los primeros no son la base de los cambios de la última.

Espero que esto ayude!