Es la imagen de un producto tensor igual al producto tensor de las imágenes?

Question

Deje $S$ ser un anillo conmutativo con unidad, y deje $A,B,A',B'$ $S$- módulos. Si $\phi:A\rightarrow A'$ $\psi:B\rightarrow B'$ $S$- módulo homomorphisms, es cierto que

$$\operatorname{im}(\phi\otimes\psi)=\operatorname{im}(\phi)\otimes_S \operatorname{im} (\psi)?$$

Answer 1

No, porque el mapa $im(\phi)\otimes_S im(\psi) \to A'\otimes_S B'$ puede no ser inyectiva.

E. g. considere el caso $S = \mathbb Z$, $A = A' = B =\mathbb Z/2\mathbb Z,$ $B' = \mathbb Q/\mathbb Z$, $\phi = id_A$, y $\psi: \mathbb Z/2\mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Q/\mathbb Z$ es el único de la inyección.

A continuación, el mapa de $A \otimes_S B \to im(\phi) \otimes_S im(\psi)$ es un isomorfismo, mientras que el mapa de $\phi \otimes_S \psi$ es el cero mapa, debido a que $A'\otimes_S B' = 0$.

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Más generalmente, si se limita al caso en el $\phi$ es la identidad, y $\psi$ es inyectiva, se preguntan si la inyección de $\psi: B \hookrightarrow B'$ induce una inyección de $A\otimes_S B \hookrightarrow A \otimes_S B'$. La respuesta es no en general, porque la tensoring no es de izquierda exacta. (El ejemplo anterior es una ilustración de esto.)