Tenemos que probar que $H^{*}(\mathbb{R}P^n, \mathbb{Z}_2) \simeq \mathbb{Z}_{2}[x]/(x)^{n+1}$ como anillo. Así que tenemos que encontrar un isomorfismo $$ \phi: \mathbb{Z}_{2}[x]/(x)^{n+1} \rightarrow H^{*}(\mathbb{R}P^n, \mathbb{Z}_2) $$ Podemos enviar a $x$ en un sub-colector de $\mathbb{R}P^n$ de codimention $1$ en $H_{*}(\mathbb{R}P^n, \mathbb{Z}_2)$ (? $\mathbb{R}P^{n-1}$, ¿por qué no es un $0$-clase en la homología?). ¿Cómo podemos construir este isomorfismo? Y por qué podemos usar la dualidad entre $H^{*}$ $H_{*}$ (si $n$ es extraño $\mathbb{R}P^n$ no está orientado a)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí está una manera rápida de conseguir lo que quieres:
Tenga en cuenta que $\mathbb{R}P^{n-1}\hookrightarrow\mathbb{R}P^n$ induce isomorphisms en $H_i(-;\mathbb{Z}_2)$$i\le n-1$.
Ahora $x$ genera $H_1(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}_2)$ y queremos demostrar que las $H^*(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}_2)\cong\mathbb{Z}_2[x]/(x^{n+1})$, por lo que la inducción por que solo tenemos que mostrar que $x\cup x^{n-1}\ne 0$.
Ahora sólo plug-n-chug a través de Poincaré-dualidad con la taza/cap productos: $[\mathbb{R}P^n]\cap(x\cup x^{n-1})=([\mathbb{R}P^n]\cap x)\cap x^{n-1}=1$, donde esta última igualdad es porque $[\mathbb{R}P^n]\cap x$ es un generador de $H_{n-1}(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}_2)$! Por lo tanto $x^n\ne 0$.
