¿Es de $\mathbf{C}$ la clausura algebraica de cualquier campo que no sea de $\mathbf{R}$?

Question

A mí me parece (intuitivamente) que no debe haber otros campos cuya algebraica de cierre es de $\mathbf{C}$, aunque no tengo ninguna razón para creer. Los hechos que he estado usando para formular un argumento son $[\mathbf{C}\mathbin{:}\mathbf{R}]=2$ y $\mathbf{R}$ es el único campo con la costumbre de la analítica de las propiedades. Quiero decir, parece que para los complejos para ser definido aún tenemos que hacer referencia a la analítica de las propiedades de los reales. También, sabemos que un campo tendría que ser innumerables, ¿verdad?

Esta pregunta puede llegar a ser trivial, pero cualquier información o referencias se agradece.

Answer 1

Sea $ $S una base de trascendencia para $\mathbf{C}$ sobre $\mathbf{Q}$. $\Mathbf{C}$ es la clausura algebraica de $\mathbf {Q} $(S). Usted puede elegir $S$ para contener cualquier número trascendental, así que uno en $\mathbf{C}\setminus\mathbf{R}$, como \pi\sqrt{-1}$ $, entonces $\mathbf {Q} (S) \neq\mathbf {R} $. También $\mathbf {Q} $ (S) no puede contener $\sqrt{-1}$, lo $\mathbf {Q} (S) \neq\mathbf {C} $.

Answer 2

Considere la posibilidad de un trascendental extensión de $\mathbb C$, $\Bbb C(t)$. Desde $\sqrt t\noen\Bbb C(t)$ no es algebraicamente cerrado y por lo tanto los campos son diferentes. Claramente $\Bbb C(t)$ no es isomorfo a $\Bbb R$ así.

La clausura algebraica de $\Bbb C(t)$ es de cardinalidad $2^{\aleph_0}$ y por lo tanto es isomorfo a los números complejos. Esto se deduce del hecho de que la teoría de la algebraicamente cerrado campos fijos en una de las características es categórico para innumerables cardinalidades, es decir, una vez que elegimos a las características del campo hay un modelo de isomorfismo. Así que cada algebraicamente cerrado de campo de las características de cero, cuya cardinalidad es de $2^{\aleph_0}$ debe ser isomorfo a los números complejos.

Otros ejemplos de la no$\Bbb R$ campos algebraicas cuyo cierre es isomorfo a $\Bbb C$ incluye $p$-ádico números, y cualquier otro campo de característica cero y la cardinalidad del continuo.

Answer 3

¿Tal vez esto es demasiado obvio, pero: sí?

Answer 4

no debe haber otros campos cuya clausura algebraica es C,

Artin y Schreier demostrado, aproximadamente hace un siglo, que la única situación en la que un algebraicamente cerrado de campo es un número finito de grados de la extensión de un subcampo es el grado 2 de la extensión de un campo cerrado (uno en el que cada suma de cuadrados es distinto de cero, cada impar de grado del polinomio tiene una raíz, y cada suma de cuadrados tiene una raíz cuadrada). En la lógica de términos, hasta la primaria de equivalencia, la extensión de la $I$ a $C$ es único. Sin finito grado de condición, que no es muy único.

para los complejos para ser definido aún tenemos que hacer referencia a la analítica de las propiedades de los reales.

Sí, pero es posible que los campos muy diversos, para ser elementarily equivalente, el cual es suficiente para muchos de los algebraica de los efectos.

También, sabemos que un campo tendría que ser innumerables, ¿verdad?

Sí, algebraica de cierre de no aumentar la cardinalidad de un infinito campo.

Answer 5

Permítanme ser claro desde el principio que estoy asumiendo el Axioma de Elección.

Hay $2^{c} = 2^{2^{\aleph_0}}$ clases de isomorfismo de los subcampos $R$ de $\mathbb{C}$ con $[\mathbb{C}:R] = 2$. De ello se sigue que $\operatorname{Aut} \mathbb{C}$ tiene $2^c$ órbitas en el conjunto de índice $2$ subcampos de $\mathbb{C}$. [Nota: esto contradice la última línea de JSchlather la respuesta de David Speyer que lo comente.]

Se desprende de las respuestas a esta vieja MO cuestión de la mina que hay $2^c$ clases de isomorfismo de real de campos cerrados de continuidad de la cardinalidad. Por Artin-Schreier, cada uno de estos campos de $R$ es un grado $2$ subcampo de su clausura algebraica $C$. Desde $C$ es un algebraicamente cerrado de campo de carácter $0$ y continuo de la cardinalidad, es isomorfo al complejo campo de $\mathbb{C}$. Componer $R \hookrightarrow C \cong \mathbb{C}$ se da cuenta de $R$ como un índice de $2$ subcampo de $\mathbb{C}$.

Aunque el argumento de que hay el mayor número concebible de real de campos cerrados de continuidad de la cardinalidad es más bien técnico, es más fácil ver que no debe ser otro que $\mathbb{R}$ y por tanto $\mathbb{R}$ no es única hasta el isomorfismo entre el índice $2$ subcampos de $\mathbb{C}$. Es decir, podemos tomar un pedido en $\mathbb{R}(t)$ que se extiende la costumbre de comprar en $\mathbb{R}$ y $t$ mayor que cualquier número real. Este es un no-Arquímedes ordenó campo de la continuidad de la cardinalidad; real en su cierre es por lo tanto un no-Arquímedes ordenó campo de la continuidad de la cardinalidad. Desde los dos reales-campos cerrados son isomorfos como ordenó campos iff son abstractamente isomorfo, esto le da un segundo real-campo cerrado de la continuidad de la cardinalidad.