Distribución de la suma de las variables exponenciales con diferentes parámetros

Question

Tenemos $k$ variables aleatorias independientes con distribución exponencial ( $T_1, T_2, \ldots , T_k$ ), los parámetros de las variables aleatorias son ( $\lambda , \frac { \lambda }{2}, \frac { \lambda }{3}, \ldots , \frac { \lambda }{k}$ ), ¿cuál es la distribución de la nueva variable $T = T_1 + T_2 + \cdots + T_k$

Answer 1

Puede utilizar el resultado principal aquí aplicada a la secuencia $\lambda, \lambda/2,...,\lambda/k$ que para el caso general establece que

$$h_{X_1,.,X_n}(x) = \left[ \prod_{i=1}^n \lambda_{i} \right] \sum_{j=\ 1}^n \frac{e^{-\lambda_i x}}{\prod_{k \neq j}^n(\lambda_i-\lambda_j)}$$

Answer 2

Sugerencia: Puedes utilizar la convolución para calcular la distribución de dos variables independientes:

Supongamos que $X$ sigue $f(x)$ , $Y$ sigue $g(y)$ entonces $Z=X+Y$ sigue

$$f_Z(z)=\int _{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y) \, dy.$$

Siguiendo esta lógica, sólo hay que hacer una integración en serie, y luego se obtendría el resultado.