Dejemos que $a,b,c$ sea la longitud de los lados de un triángulo entonces demuestre que $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0$

Question

Dejemos que $a,b,c$ sea la longitud de los lados de un triángulo entonces demuestra que

$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0$

¡¡¡Por favor, ayúdenme!!!

Answer 1

Dejar

$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)=0$       (1)

dejar

$x=-a+b+c; y=a-b+c; z=a+b-c$

$z,y,x$ son el doble de la longitud de los segmentos entre los vértices y el punto de contacto de los incirculos. así que

$a=\frac{y+z}{2}, b=\frac{z+x}{2}, c=\frac{x+y}{2}$

sustitúyelos en (1) y multiplica la desigualdad por 16

$(y+z)^2(z+x)(y-x)+(z+x)^2(x+y)(z-y)+(x+y)^2(y+z)(x-z)\geqslant 0$

$x^3z+y^3x+z^2y\geqslant x^2yz+y^2zx+z^2xy$

y así

$x^3z+y^3x+z^3y-x^2yz-y^2zx-z^2xy$

$=zx(x-y)^2+xy(y-z)^2+yz(z-x)^2\geqslant 0$

como $x>0, y>o, z>0$ la igualdad se mantiene si y sólo si $x=y=z$ .

ejemplo si $a=b=c$ entonces el triángulo es equilátero.

Answer 2

$$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a) =\dfrac{1}{2}[(a+b-c)(b+c-a)(a-b)^2+(b+c-a)(a+c-b)(b-c)^2+(a+c-b)(a+b-c)(c-a)^2] 0$$

Answer 3

Dejemos que $c=\max\{a,b,c\}$ , $a=x+u$ , $b=x+v$ y $c=x+u+v$ , donde $x>0$ y $u\geq0$ , $v\geq0$ .

Por lo tanto, $\sum\limits_{cyc}(a^3b-a^2b^2)=(u^2-uv+v^2)x^2+(u^3+2u^2v-uv^2+v^3)x+2u^3v\geq0$ .

¡Hecho!

Answer 4

Rotula el triángulo de forma que $a>b>c>0$

Entonces $ab > b^2$ y $cb> c^2$ y $ac> a^2$

Así que $ab-b^2 > 0$ y $a^2(ab-b^2)>0$

Lo mismo ocurre con los otros dos términos, por lo que su suma será naturalmente mayor que $0$