Gato vivo o muerto?

Question

Pones un gato en un cuadro tóxico, podría estar vivo o muerto después de una hora. Dos brujas $A$ $B$ tiene la capacidad de predecir el estado del gato con la precisión de $p_1$$p_2$, respectivamente.Supongamos que sus predicciones son independientes. Ambos de ellos afirman que "ver" el gato está vivo todavía en el futuro. Pregunta: a partir de sus palabras, se puede calcular la probabilidad de que el gato está todavía vivo después de una hora?

Tengo dos soluciones, estoy tan confundido acerca de ellos, especialmente el segundo, por favor tenga paciencia y siento que mi confusión.

Solución 1

Dos posibilidades:

1. $A$ , $B$ a la derecha, así que el gato está vivo
2. $A$ incorrecto, $B$ mal, así que el gato está muerto

Uno derecho y uno malo es imposible, por lo tanto, la probabilidad de que el gato está vivo $p_1p_2/(p_1p_2+(1-p_1)(1-p_2))$

Solución 2

Voy a traducir Una tiene la exactitud de $p_1$a $$ p_1 = P(L)P(A_L|L)+P(D)P(A_D|D) $$ fórmula de arriba dice que si el gato está vivo, $A$ predecir está vivo; si el gato está muerto, $A$ predecir que está muerto.

De forma similar: $$ p_2 = P(L)P(B_L|L)+P(D)P(B_D|D) $$ Porque el gato está vivo o muerto, por lo $P(L)+P(D)=1$

Queremos calcular la probabilidad de que el gato está vivo basado en las palabras de $A$$B$:

$$ P(L|A_L,B_L) = \frac{P(A_L,B_L|L)P(L)}{P(A_L,B_L)} = \frac{P(A_L,B_L|L)P(L)}{P(A_L,B_L|L)P(L)+P(A_L,B_L|D)P(D)} $$

que no parece la misma como solución 1 medida de lo que puedo decir.

Esta solución me hace muy incómodo sobre el sentido de la $P(D)$ $P(L)$ , son el desconocido probabilidad de que el gato está vivo o muerto si yo no tengo las brujas palabras?

Editar

He encontrado la solución 1 es el resultado de explicar la exactitud de la predicción de diferente manera que la solución 2. Explícitamente, se explican $p_1=P(D|A_D)=P(L|A_L)$, lo que significa que, cuando se $A$ dice que el gato está muerto, la probabilidad de que el gato llegar a ser muertos es $p_1$; al $A$ dice que el gato está vivo, la probabilidad de que el gato resultan ser vivo también es $p_1$.

Por lo tanto,

$$ P(L|A_L,B_L)=\frac{P(L|A_L,B_L)}{P(L|A_L,B_L)+ P(D|A_L,B_L)}= \frac{p_1p_2}{p_1p_2+(1-p_1)(1-p_2)} $$

Edit2

Como se ha mencionado, creo que la parte más confusa es la manera correcta de definir la exactitud de las brujas, ¿crees que hay ambigüedades en la definición de esta cantidad? Al menos tres candidatos tendría algún sentido para mí:

1. $p_1=P(A_L|L)=P(A_D|D)$

Este dice: si el gato está vivo, entonces la bruja predecir como vivo con una probabilidad de $p_1$; si el gato está muerto, entonces la bruja de predecir como muertos con una probabilidad de $p_1$;

2. $p_1 = P(L|A_L) = P(D|A_D)$

Este dice: si la bruja dice que el gato está vivo, entonces la probabilidad de que el gato resultan ser vivo con una probabilidad de $p_1$; mismo que cuando la bruja dice que el gato está muerto.

3. $p_1 = P(A_L|L)P(L) + P(A_D|D)P(D)$

Este dice: el gato está muerto o vivo, si está vivo, la bruja predecir como vivo; si es muerto, la bruja predecir como muerto; la suma de ellos debe ser la precisión de la bruja. Como se ha señalado por una respuesta, esta definición permite que $P(A_L|L)\neq P(A_D|D)$, pero este es un gran problema?

Cual de los tres hacen más sentido para usted, que es una tontería y que son, en algún sentido?

Answer 1

Si las brujas hacer predicciones correctas con probabilidades $p_1$ $p_2$ respectivamente, y sus predicciones' correctnesses son independientes, luego de un análisis Bayesiano da $$ P(L|L_1\wedge L_2)=\frac{P(L_1\wedge L_2 | L)P(L)}{P(L_1\wedge L_2)}=\frac{P(L_1\wedge L_2 | L)P(L)}{P(L_1\wedge L_2 | L)P(L) + P(L_1\wedge L_2 | D)P(D)}=\frac{p_1p_2P(L)}{p_1p_2P(L)+(1-p_1)(1-p_2)P(D)}; $$ así que, asumiendo una posición neutral antes de ($P(L)=P(D)=1/2$), el gato vive con una probabilidad de $$ \frac{p_1 p_2}{p_1p_2 + (1-p_1)(1-p_2)}, $$ al igual que en la primera solución. Este es probablemente (OMI), la interpretación más natural de la pregunta. Su definición de "precisión" en la segunda solución es insuficiente, ya que deja abierta la posibilidad de que, por ejemplo, las brujas son correctas con más frecuencia en vivo con los gatos. Usted necesita la definición que se $$p_i\equiv P(L_i|L)\equiv P(D_i|D).$$