Podemos encontrar una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que es abierto, cerrado, pero no continuo?

Question

La pregunta es la descrita en el título. Para aclarar, yo estoy buscando un ejemplo en el que el dominio de esta función es $\mathbb{R}$, por lo que el ejemplo que aquí no va a funcionar.

La mayor upvote respuesta que aquí se da un ejemplo de discontinuos abrir mapa de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$, pero ese mapa, difícilmente puede ser cerrado (conjunto cerrado no necesita contener cualquier intervalo de tiempo!). Tengo dificultad para generalizar la construcción y saben muy poco acerca de cualquier condición suficiente que conduce a cerrado mapa sin continuidad (constante a trozos va a trabajar, pero ese tipo de mapas no se puede abrir!).

Apreciaré cualquier ejemplo, no constructiva demostrar/refutar, o cualquier referencia que cubre este.

*En caso de que necesito aclarar esto, hacemos uso de las ets. métrica de la topología en $\mathbb{R}$

Answer 1

No hay tal función existe.

Suponga que $f((a,b))$ es un conjunto abierto acotado. A continuación, $f((a,b))= (c,d)$ algunos $c,d\in \mathbb{R}$. De hecho, $f((a,b))$ es un conjunto abierto, por tanto, de la forma $\bigcup (a_n,b_n)$ sin embargo $f([a,b])$ tiene a lo más dos puntos más que $f((a,b))$, por lo que concluimos.

Reclamo: si $f((a,b))= (c,d)$ $f$ es continua y estrictamente monótona en $(a,b)$.

Prueba: en primer lugar, vamos a mostrar que el $f$ es inyectiva. De hecho suponer que $f(x_1)= f(x_2)$ algunos $x_1,x_2\in (a,b)$. Luego tomar la $f((x_1,x_2))=(c_1,d_1) $ algunos $c_1,d_1$, una contradicción ya que el $f( [x_1,x_2] )$ necesita dos puntos para ser cerrado. Ahora, desde la $f$ tiene el IVT propoerty y es inyectiva es estrictamente monótona y continua.

Se argumenta por la contradicción. Suponga que $f$ no es continua en a $x_0$, y establecer $V_n=( x_0-1/n,x_0+1/n )$. Ahora, la demanda implica que hay $z_n<w_n$ tal que $f(V_n )=(-\infty ,z_n)\bigcup (w_n,\infty) $ donde $z_n$ o $w_n$, posiblemente, puede tomar el valor de $\pm \infty$. También, observe que $w_n$ es creciente y $z_n$ está disminuyendo.

Primer caso, uno de los $z_n,w_n$ converge (a un límite finito). WLOG asumir que $w_n \rightarrow w$. Ahora, elige un número $\beta$ $(w,\infty)$ que es diferente de $f(x_0)$. Podemos encontrar una secuencia $p_n\in V_{n-1}\setminus V_n$ tal que $f(p_n)=\beta +1/n$. Una contradicción ya que el conjunto cerrado $\{x_0\}\bigcup \{p_n|n\in \mathbb{N}\}$ obtiene asignada a través de $f$ $\{f(x_0)\}\bigcup \{\beta +1/n|n\in \mathbb{N}\}$que no está cerrado.

En el segundo caso, tenemos $z_n \rightarrow -\infty$$w_n \rightarrow\infty$. Esto es una contradicción ya que el anterior implica $\bigcap_{n \in \mathbb{N}}f(V_n)= \emptyset$ $\bigcap_{n \in \mathbb{N}}f(V_n)$ siempre contiene $f(x_0)$.

Answer 2

Esta prueba tiene un fallo en la segunda mitad:

Deje $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ ser abierta y cerrada de la función.

Primero vamos a comprobar que $f^{-1}(x)$ es finito para cada $x\in \mathbb R$

supongamos que no, $a_1>a_2>a_n\dots$ ser una secuencia de valores cuya imagen es todo lo $x$, y tal que para cada a $i$ hay un elemento en $f^{-1}(x)$$a_i$$a_{i+1}$.

Observe que $f((a_i,a_{i+1}))=f([a_i,a_{i+1}])$. Por lo tanto,$f((a_i,a_{i+1})=\mathbb R$, ya que es un clopen conjunto).

Si el $a_i$'s convergen, a continuación, deje $l$ ser su límite.

Ahora llevamos $b_1,b_2,\dots$ una secuencia tal que $a_i<b_i<a_{i+1}$ todos los $i$, y de tal manera que $f(b_i)$ es estrictamente creciente convergencia de la secuencia ( si $a_i$'s convergen también pedimos $f(a_i)>l$).

Si $l$ no existe, $\{b_1,b_2,\dots\}$ es cerrado, mientras que su imagen no lo es. Y si $l$ existe $\{l,b_1,b_2,\dots\}$ es cerrado, mientras que su imagen no lo es.

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Así que ahora vamos a $f^{-1}(0)=\{a_1,a_2,\dots, a_n\}$. A continuación, $f$ es inyectiva cuando se limita a $(-\infty,a_1),(a_i,a_{i+1})$$(a_n,\infty)$.

Prueba: Supongamos $U$ ser conectado a un conjunto que no contiene $0$ en la imagen, supongamos $f(x)=f(y)$ algunos $x\in U$. Observe que $f((x,y))$ $f([x,y])$ difieren en exactamente un punto. Esto significa que $f(x,y)$ es un conjunto abierto con en la mayoría de las $1$ punto límite. Por lo tanto, $f(x,y)=\mathbb R$ o $\mathbb R \setminus f(x)$. Cualquiera de los dos casos es una contradicción, ya que no hay ningún punto en $U$ mapas a $0$.

Llegamos a la conclusión de que $f$ es inyectiva cuando restringida a cada uno de los bloques abiertos. Observe que la función de $f$ es una función con respecto a la inducida por la topología, ya que cada uno de esos conjuntos es abierto. Por otra parte, cada uno de estos conjuntos es isomorfo a $\mathbb R$. El siguiente lema termina la prueba.

Lema: una inyección de $g:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ es continua.

prueba: Supongamos $h$ $g$ con un cambio en la codominio, por lo que la función es surjective. Observe que $h^{-1}$ es un continuo bijection de un discontinuo de la unión de bloques abiertos a $\mathbb R$. (cada conjunto abierto es un discontinuo de la unión de intervalos abiertos).

Esto es suficiente para mostrar que $h^{-1}$ está abierto en cada intervalo, pero esto es claro, ya que una continua inyección de $(a,b)\rightarrow \mathbb R$ es creciente, y por lo tanto un homeomorphism en su dominio.

Esto demuestra que $f$ es continua en cada punto,$x$$f(x)\neq 0$. Utilizando el mismo argumento para $1$ en lugar de $0$ demuestra la continuidad en todas partes.