¿Se puede visualizar la teoría de los números?

Question

Estaba pensando en un problema difícil de geometría euclidiana, cuando me di cuenta de lo difícil que sería sin la ayuda de un diagrama. Esto me hizo pensar: ¿No sería genial si pudiéramos encontrar de alguna manera los diagramas correspondientes para algo como la teoría de los números? No tienen que ser diagramas de geometría euclidiana, como hicieron los griegos con el álgebra (que en realidad lo hizo más difícil que sin diagramas, como todos sabemos), sino que tenemos que encontrar una representación diagramática natural. Algo como el diagrama de Ferrers parece ser un pequeño paso en esa dirección, y puedo imaginar que se hagan cosas similares para toda la teoría de números.

¿Es factible esta idea? Por favor, explique por qué.

EDIT: Dejaré lo anterior para que las respuestas sean más interesantes. Sin embargo, una pregunta relacionada (como sugiere Omnomnomnom) que quizás sea más útil es la siguiente: ¿Qué tipos de diagramas existen ya en la teoría de números?

Espero ansiosamente las respuestas.

Answer 1

Una joya brillante en la intersección de la teoría de los números y la geometría es la obra de Aubry reflectante generación de primitivos Triples pitagóricos, es decir, los naturales coprimos $\,(x,y,z)\,$ con $\,x^2 + y^2 = z^2.\,$ Dividiendo por $z^2$ rinde $\,(x/z)^2\!+(y/z)^2 = 1,\,$ por lo que cada triple corresponde a un punto racional $(x/z,\,y/z)$ en el círculo unitario. Aubry demostró que podemos generar todos esos triples mediante un proceso geométrico muy sencillo. Se empieza por el punto trivial $(0,-1)$ . Dibuja una línea hasta el punto $\,P = (1,1).\,$ Interseca el círculo en el racional punto $\,A = (4/5,3/5)\,$ dando lugar a la triple $\,(3,4,5).\,$ A continuación, refleje el punto $\,A\,$ en los otros cuadrantes tomando todos los signos posibles de cada componente, es decir $\,(\pm4/5,\pm3/5),\,$ dando lugar al rectángulo inscrito de abajo. Como antes, la línea que pasa por $\,A_B = (-4/5,-3/5)\,$ y $P$ intersecta el círculo en $\,B = (12/13, 5/13),\,$ dando lugar a la triple $\,(12,5,13).\,$ Del mismo modo, los puntos $\,A_C,\, A_D\,$ producen los triples $\,(20,21,29)\,$ y $\,(8,15,17),\,$
Podemos iterar este proceso con los nuevos puntos $\,B,C,D\,$ haciendo lo mismo que hicimos para $\,A,\,$ obteniendo más triples. Por inducción este proceso genera las triplas primitivas como un árbol ternario

$\qquad\qquad$
El descenso en el árbol viene dado por la fórmula (cuyo reflectante génesis geométrica se da a continuación)

$$\begin{eqnarray} (x,y,z)\,\mapsto &&(x,y,z)-2(x\!+\!y\!-\!z)\,(1,1,1)\\ = &&(-x-2y+2z,\,-2x-y+2z,\,-2x-2y+3z)\end{eqnarray}$$

Por ejemplo $\ (12,5,13)\mapsto (12,5,13)-8(1,1,1) = (-3,4,5),\ $ cediendo $\,(4/5,3/5)\,$ cuando se refleja en el primer cuadrante.

El ascenso en el árbol se realiza invirtiendo este mapa, combinado con reflexiones triviales de cambio de signo:

$\quad\quad (-3,+4,5) \,\mapsto\, (-3,+4,5) - 2 \; (-3+4-5) \; (1,1,1) = ( 5,12,13)$

$\quad\quad (-3,-4,5) \,\mapsto\, (-3,-4,5) - 2 \; (-3-4-5) \; (1,1,1) = (21,20,29)$

$\quad\quad (+3,-4,5) \,\mapsto\, (+3,-4,5) - 2 \; (+3-4-5) \; (1,1,1) = (15,8,17)$

Continuando de esta manera podemos generar reflexivamente todo el árbol de triples pitagóricos primitivos, por ejemplo, la arista superior del árbol de triples corresponde a la ascendente $C$ -línea inscrita en zigzag $(-1,0), (3/5,4/5), (-3/5,4/5), (5/12,12/13), (-5/12,12/13), (7/25,24/25), (-7/25,24/25) \ldots$

Veamos un poco más de cerca la geometría subyacente. Consideremos el espacio cuadrático $Z$ de la forma $Q(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2\,$ con el producto interno lorentziano $(Q(x\!+\!y)-Q(x)-Q(y))/2\,$ dado por

$\qquad v \cdot u\, =\, v_1 u_1 + v_2 u_2 - v_3 u_3.\ \ $ Recordemos que el reflexión de $v$ en $u$ viene dada por

$\quad\quad v\, \mapsto\, v - 2 \dfrac{v \cdot u}{u \cdot u} u \quad$ La reflectividad es clara: $\; u \mapsto -u$ y $\; v \mapsto v$ si $\; v\perp u, \;$ es decir $v\cdot u = 0$ .

Con $\; v = (x,y,z)$ y $\; u = (1,1,1)$ de la norma $1$ tenemos

$\quad\quad (x,y,z)\; \mapsto (x,y,z) - 2 \dfrac{(x,y,z)\cdot(1,1,1)}{(1,1,1)\cdot(1,1,1)} (1,1,1)$

$\qquad\qquad\qquad =\, (x,y,z) - 2 \; (x\!+\!y\!-\!z) \; (1,1,1)$

$\qquad\qquad\qquad =\, (-x\!-\!2y\!+\!2z, \; -2x\!-\!y\!+\!2z, \; -2x\!-\!2y\!+\!3z)$

Esta es la reflexión no trivial que afecta al descenso en el árbol de triples. Dicho de forma más sencilla: $ $ si $\,x^2 + y^2 = z^2\,$ entonces $\,(x/z, y/z)\,$ es un punto racional $P$ en el círculo unitario $C$ entonces un simple cálculo muestra que la línea que pasa por $P$ y $(1,1)$ se cruza con $C$ en un más pequeño punto racional, dado proyectivamente a través de la reflexión anterior.

Esta técnica se generaliza fácilmente a la forma $ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n-1}^2 = x_n^2$ para $4 \le n \le 9$ pero para $n \ge 10 $ las n-tuplas pitagóricas caen en al menos $[(n+6)/8]$ órbitas distintas bajo el grupo de automorfismo de la forma - ver Cass y Arpaia (1990) [1]

También hay generalizaciones a diferentes formas que fueron utilizadas por primera vez por L. Aubry (Sphinx-Oedipe 7 (1912), 81-84) para dar pruebas elementales de la $3$ & $4$ teorema del cuadrado (véase Apéndice 3.2 p. 292 de Weil's: Teoría de los números: una aproximación a través de la historia ). Estos resultados muestran que si un entero es representado por una forma racional, entonces también debe serlo integralmente. El método también se aplica a las siguientes formas $x^2+y^2, x^2 \pm 2y^2, x^2 \pm 3y^2, x^2+y^2+2z^2, x^2+y^2+z^2+t^2,\ldots$ Más concretamente, se trata de la misma prueba que para triples pitagóricos muestra

Teorema $ $ Supongamos que el $n$ -forma cuadrática primaria $F(x)$ tiene la integral y no tiene ningún cero no trivial en ${\mathbb Z}^n$ y supongamos que que para cualquier $x \in {\mathbb Q}^n$ hay $\,y \in {\mathbb Z}^n$ tal que $\; |F(x\!-\!y)| < 1$ . Entonces $F$ representa $m$ en $\mathbb Q$ $\iff$ $F$ representa $m$ en $\mathbb Z$ para todos los enteros no nulos $m$ .

La condición $|F(x\!-\!y)| < 1$ está estrechamente relacionado con el algoritmo euclidiano. De hecho, existe un análogo del campo de funciones que emplea el algoritmo euclidiano y que fue redescubierto de forma independiente por Cassels en 1963: $ $ un polinomio es una suma de $n$ cuadrados en $k(x)$ si lo mismo ocurre en $k[x]$ . Pfister lo aplicó inmediatamente para obtener una solución completa del problema de niveles para campos. Poco después generalizó el resultado de Cassels a formas cuadráticas arbitrarias, fundando la moderna teoría algebraica de las formas cuadráticas ("formas de Pfister").

Los resultados de Aubry son, de hecho, casos muy especiales de resultados generales de Wall, Vinberg, Scharlau y otros sobre celosías reflectantes es decir, grupos aritméticos de isometrías generados por reflexiones en hiperplanos. Generalmente las reflexiones generan el grupo ortogonal de formas cuadráticas lorentzianas en dim $< 10$ .

[1] Daniel Cass; Pasquale J. Arpaia
Generación de matrices de n-tuplas pitagóricas.
Proc. Amer. Math. Soc. 109, 1, 1990, 1-7.

Answer 2

Hay una zona llamada geoemetría aritmética que explota los vínculos entre la aritmética y las cuestiones algebro-geométricas.

Por ejemplo, las famosas ecuaciones de Fermat $X^n + Y^n = Z^n$ puede pensarse como una curva en el espacio proyectivo, llamada Curvas de Fermat y se pueden utilizar herramientas geométricas para estudiarlo.

La parte afín, por tanto $X^n + Y^n = 1$ está entre un círculo y un cuadrado; para los pequeños $n$ cerca de un círculo (bien para $n=2$ es por supuesto un círculo, pero esto no es relevante para FLT) y para grandes $n$ se acerca a una forma cuadrada.

Answer 3

El Álgebra de Clifford, también conocida como Álgebra Geométrica, es una extraordinaria confluencia sinérgica de una amplia gama de campos matemáticos especializados, cada uno con sus propios métodos y formalismos, que encuentran un único formalismo unificado en el Álgebra de Clifford. Es un lenguaje unificador para las matemáticas y un lenguaje revelador para la física.

Álgebra de Clifford: Una introducción visual

Answer 4

No es una respuesta, pero quizá sea una buena contribución al debate. Esto es de la página 261 del brillante libro de Siobhan Robert El genio en juego una biografía de John H. Conway. Cita a Conway:

Cuando empezamos a trabajar en el ATLAS [de grupos finitos], no apreciamos del todo. Así que no lo harás. Creo que es mejor alejarse de explicar las cosas con números. Utilizo los números a regañadientes. Es la única manera única manera en que puedo trabajar las cosas hermosas de estos grupos. I haría otra cosa - dibujar si pudiera - pero no puedo dibujar cosas bellamente simétricas en espacios de 7 dimensiones, ... Para mí, los números son un sustituto del tacto, la sensación, la vista, todo lo demás. Con espacio de alta dimensión no puedo tocarlo, no puedo sentirlo, no puedo verlo. Puedo calcularlo, pero el cálculo no es lo importante. Los números son un conjunto de instrucciones. Un conjunto de instrucciones no es hermoso, pero eso es lo que son los números, un conjunto de instrucciones, punto por punto.

https://en.wikipedia.org/wiki/ATLAS_of_Finite_Groups

http://www.amazon.com/Atlas-Finite-Groups-Subgroups-Characters/dp/0198531990

http://www.amazon.com/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938