Porcentaje de números naturales que son cuadrados perfectos?

Question

Mientras que la lectura sobre el primer número de la distribución me encontré con este hecho de que el porcentaje de números naturales que son de cuadrado perfecto es cero. ¿Cómo puedo demostrarlo ?

Answer 1

"Porcentaje" es una mala palabra, que significa algo como natural de la densidad.

Por que es fácil, ya que el límite existe, que acaba de calcular

$$\lim_{n\to\infty} {\#\{m^2 < n : m\in\Bbb N\}\over n}$$

El numerador está acotada arriba por $\sqrt{n}$, por lo que tenemos

$$0\le\lim_{n\to\infty} {\#\{m^2 < n : m\in\Bbb N\}\over n}\le \lim_{n\to\infty} {1\over\sqrt n}=0$$

Answer 2

El cero por ciento de todos los números naturales son cuadrados perfectos en el sentido de que el límite de la proporción de los cuadrados perfectos a los números naturales es igual a cero.Para expresar esto, considere la posibilidad de

$$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\left|\left\{n\in\mathbb{N}\mid n≤x \wedge n\ \mbox{is a perfect square}\right\}\right|}x.$$

Debido a que el numerador es $\lfloor\sqrt{x}\rfloor$, por lo tanto aproximadamente $\sqrt x$ y

$$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\sqrt{x}}x = \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0,$$

la declaración se desprende que el cero por ciento de todos los números naturales son cuadrados perfectos.

Answer 3

Deje $Q_n = \{ x \in \mathbb N : x=y^2, x \le n \}$. A continuación,$\#Q_n \le \sqrt n$.

A continuación,$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\#Q_n}{n} \le \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt n}=0$.