Las matemáticas detrás de este truco de cartas

Question

1. Supongamos que tengo $21$ jugando a las cartas. Yo distribución en $3$ columnas y dígale que usted elija mentalmente una tarjeta. A continuación, sólo hay que indicar en qué columna de la tarjeta.

2. Recojo una de las columnas que no contiene su tarjeta, a continuación, la columna que contiene su tarjeta, a continuación, el resto de la columna.

3. Ahora me repartir las cartas en $3$ columnas de nuevo, comenzando desde la izquierda a la derecha, y repitiendo el proceso hasta que no hay tarjetas de izquierda en mi mano. Les pido que me indican en la columna que está a su tarjeta.

4. Me repita el paso 2 y 3.

5. Me repita el paso 2.

Ahora contando cualquiera sea la forma en la cubierta de $21$ tarjetas, la tarjeta será el 11 de tarjeta.

He intentado usar el modulo para entender el problema, pero estoy atascado haciendo entero divisiones. Así que, ¿alguien tiene una manera más simple de explicar el truco.

También podría alguien explicar por qué funciona sólo para un número impar de cartas en cada columna y por qué se requieren pasos adicionales para más tarjetas. e.g $17 \cdot 3 = 51$ requiere un paso adicional en comparación con $21$ tarjetas?

EDIT: se me olvidó añadir que el número de tarjetas que usted tiene que contar para el paso final es igual a

$$1.5\text{ times the number of cards in each column} + 0.5$$

Answer 1

Supongamos que, cuando usted primero poner las cartas sobre la mesa, la tarjeta con la que elegir, en la posición $x$ en su columna. Usted no sabe $x$, pero usted sabe que $1\leq x\leq 7$.

Ahora, el momento de recoger las tarjetas, mi tarjeta estará en la posición $7+x$ en la pila completa. La segunda vez que se ponen las cartas sobre la mesa, mi tarjeta aparecerá en la posición $p_1=\lceil\frac{7+x}{3}\rceil$ en su columna.

El segundo momento de recoger las tarjetas, mi tarjeta estará en la posición $7+p_1$ en la pila completa. La tercera vez que se ponen las cartas sobre la mesa, mi tarjeta aparecerá en la posición $p_2=\lceil\frac{7+p_1}{3}\rceil$ en su columna.

Finalmente, el momento de recoger las tarjetas para el tercer tiempo, mi tarjeta estará en la posición $7+p_2$ en la pila completa. Poniendo todo esto junto, mi tarjeta estará en la posición $$7+p_2=7+\left\lceil\frac{7+\lceil\frac{7+x}{3}\rceil}{3}\right\rceil$$ en la pila completa. El truco es que esto es igual a $11$ todos los $x$ en el rango $1\leq x\leq 7$.

Para una prueba de esta última afirmación, como jpmc26 menciona, se pueden aplicar las identidades $\lceil\frac{m+\lceil x\rceil}{n}\rceil=\lceil\frac{m+x}{n}\rceil$ $\lceil n+x\rceil = n+\lceil x\rceil$ (real $x$, entero $m$, y el entero positivo $n$) para mostrar que $$7+\left\lceil\frac{7+\lceil\frac{7+x}{3}\rceil}{3}\right\rceil = 7+\left\lceil\frac{7+\frac{7+x}{3}}{3}\right\rceil = 7 + \left\lceil 3 + \frac{x+1}{9}\right\rceil = 10 + \left\lceil\frac{x+1}{9}\right\rceil \enspace,$$ lo que es claramente igual a$11$$1\leq x\leq 7$.

Answer 2

Usted puede encontrar una explicación completa de este truco y relacionados en

Gergonne de la Tarjeta del Truco, la Notación Posicional, y Radix Sort
(Mathematics Magazine, Febrero, 2010)

http://www.maa.org/sites/default/files/Bolker-MMz-201053228.pdf

El clásico truco que utiliza $27 = 3^3$ tarjetas. Su $21$ versión de la tarjeta se discute en la página 48.

Answer 3

Me he preguntado esto por años de brazos cruzados, y tu pidiendo que me ha hecho pensar. He aquí una respuesta.

Después de un acuerdo-y-reunir fase, la tarjeta es en el tercio medio de la baraja, ¿verdad?

Al repartir las cartas de nuevo, ¿de dónde tercio medio terminar? En el tercio medio (mirando de arriba a abajo) de tableau.

Para ver esto: en el primer acuerdo, elegir una tarjeta de, digamos, el 3 de corazones. Reemplazar todo lo demás en su columna con las tarjetas rojas, y todo lo demás en las otras dos columnas con tarjetas negras. Recoger y volver a tratar. Verás en rojo de "banda" en el medio (de arriba a abajo) de la nueva tableau.

Ahora usted identificar su tarjeta en la que la mitad de la banda. Cuando usted se reúna el resto de las tarjetas, que va a ser, una vez más en el tercio medio de la baraja, porque hay una columna completa-el valor de las tarjetas en frente de ella, y una columna completa-el valor de las tarjetas detrás de él.

Pero se puede decir más que eso: suponga que la tarjeta estaba en la primera columna. Bien, entonces, fue en el tercio medio de la primera columna, no? Así que si cada columna ha $k$ tarjetas, tienes $k$ tarjetas en frente de ella (de una de las otras pilas), y otro k/3 cartas (de su propia pila) en frente de ella, y el mismo para las tarjetas detrás de él. Así que ahora está en el centro 1/9 de la pila.

Y la próxima vez será en el centro 1/27 de la pila. Y así sucesivamente.

Ahora que el análisis no es del todo correcto, ya $k$ podría no ser divisible por 3. Así que en lugar de tener k + k/3 cartas en frente de ella después de dos ofertas, tienes k + suelo(k/3). Por ejemplo, si $k = 8$, luego tendrías $8 + floor(8/3) = 8 + floor(2.66...) = 8 + 2 = 10$ tarjetas en frente de ella. Pero aparte de este pequeño inconveniente, lo que se obtiene es la siguiente:

después de $p$ "pasa" en la cubierta de $N$ tarjetas, la tarjeta está en el medio (aproximadamente) $(N/3^p)$ cartas de la baraja. Al $3^p > N$, esto significa que su tarjeta es el medio de la tarjeta de la cubierta.

Answer 4

Vamos a ir paso por paso. Después de que los pasos i) y ii) ya sabemos que el elegido de la tarjeta está en la posición $8,9,10,11,12,13,14$ en la pila. A continuación, después de repartir todas las cartas de nuevo en la forma que sabemos que las cartas que estaban en las posiciones de $8,9,10,11,12,13,14$ antes de tratar ahora están en lugares $3,4,5$ (en realidad depende de la pila, pero podemos estar seguros de que cada una de las mencionadas tarjetas se encuentra ahora en una posición $3,4$ o $5$ en uno de los tres montones. Así que finalmente, después el segundo paso hemos reducido la elección de tres cartas.

Después de poner las cartas en una pila de nuevo, entonces sabemos que la carta elegida será en la posición $10,11,12$. Y en el último reparto, obviamente, cada una de las tarjetas será repartido en diferentes pila, por lo que debe ser capaz de averiguar cual es la tarjeta de seguro. Pero durante la última repartir las cartas en las posiciones de $10,11,12$ están todos en la posición $4$ en cada una de las nuevas pilas, por lo tanto, después de recoger todas las cartas, la carta elegida será en la posición $11$.

Finalmente, como se puede ver con cada uno tratando disminuir el número de posibilidades de$n$$\lfloor\frac{n-1}{3}\rfloor + 1$.