$I-AB$ sea invertible $\Leftrightarrow$ $I-BA$ es invertible

Question

Asume $A,B\in M_n(F)$ si $I-AB$ sea invertible entonces cómo demostrar $I-BA$ es invertible y cómo encontrar la inversa de $I-BA$

Gracias de antemano

Answer 1

Una pista: $(I-BA)^{-1}=X$ (digamos), Ahora expande el lado izquierdo. obtenemos $$X=I+BA+ (BA)(BA)+(BA)(BA)(BA)+\dots$$ $$AXB=AB+(AB)^2+(AB)^3+(AB)^4+\dots$$ $$I+AXB=I+(AB)+(AB)^2+\dots+(AB)^n+\dots=(I-AB)^{-1}$$

Compruébelo usted mismo: $(I+AXB)(I-AB)=I$ y $(I-AB)(I+AXB)=I$

Answer 2

Sugerencia : $(I - BA)(I + B(I - AB)^{-1}A) = I$

Answer 3

Reclamación : $\det(I-AB)=\det(I-BA)$ .

Prueba:

Caso 1: $A$ es invertible. ¡Entretenimiento!

Caso 2: $A$ no es invertible. Considere $k$ el cierre algebraico de $F$ .

Dejemos que $P(X)=\det(I-(A-xI)B)- \det(I-B(A-xI))$ . Por parte Caso 1, $P(x)=0$ para todos $\{ x \in k| x \mbox{ is not an eigenvalue of} A \}$ . Desde $P(x)$ es un polinomio de grado $n$ que tiene infinitas raíces, se deduce que $P(X) \equiv 0$ y por lo tanto $P(0)=0$ .