Nociones de grado para mapas $S^n \to S^n$ ?

Question

En topología algebraica, definimos un grado para un mapa $f: S^n \to S^n$ como donde el mapa inducido $f_*$ en el $n$ -grupo homológico de $S^n$ envía $1$ .

En topología diferencial, tenemos una noción diferente (¿la misma?) de grado para $f$ . Se toma un valor regular $b \in S^n$ considera $f^{-1} (b)$ (que es finito por el teorema de la función inversa y algún argumento de compacidad), y tomar la diferencia entre el número de puntos de la preimagen donde el jacobiano de $f$ es positivo y el número de puntos de la preimagen en los que el jacobiano de $f$ es negativo.

Geométricamente, veo que son iguales, pero no he podido convencerme rigurosamente. En Prop 2.30 de Hatcher, menciona que el grado de $f$ es la suma de los grados locales de $f$ en cada punto de preimagen, y los grados locales son $\pm 1$ . (El grado local se define en la mitad de la página 136 de Hatcher).

Por tanto, la pregunta final es si el signo del grado local de $x \in f^{-1}(b)$ el mismo que el signo del jacobiano de $f$ en $x$ ?

Answer 1

Yo creo que lo que necesitas es lo siguiente lema (generalmente llamada la "Pila de registros" lema):

Considere la posibilidad de un suave adecuado mapa de colectores de la misma dimensión $f \colon M \to N$ y deje $y \in N$ regular valor de $f$.

Entonces existe una vecindad $V \subset N$ $y$ tal que $f^{-1}(V) = \cup\_{i=1}^n U\_i$ $U\_i \cap U\_j = \emptyset$ $i \neq j$ $f|\_{U_i} \colon U\_i \to V$ es un diffeomorphism para todos los $i$.

Ahora, desde esta sólo puede resumir $\pm 1$ según la orientación de cada una de las $U_i$ para obtener el local grado de $f$$y$, y esto funciona para ambas definiciones de grado.

Answer 2

Creo que sí: parece que el grado local según la definición de Hatcher mide si $f$ conserva la orientación o la invierte en la vecindad de $x$ . En la página 233 comienza a hablar de la orientación mediante clases de escisión: una orientación para un barrio en un $n$ -en un punto $x$ es sólo una elección del generador de $H_n(\mathbb R^n, \mathbb R^n-x)$ y un pequeño barrio $U$ acerca de $x$ es homeomorfo a $\mathbb R^n$ . En su recuento de grados, toma un barrio $U$ de $x$ que es disjunta de otras preimágenes $f^{-1}(f(U))$ y mira el cartel del mapa $H_n(U, U-\{x\})\rightarrow H_n(f(U), f(U)-\{y\})$ .

El signo del jacobiano de $f$ también debería indicarle si $f$ preserva localmente la orientación o invierte en a $x$ .

Answer 3

Creo que puedes encontrar una prueba de que el grado topológico diferenciable es el grado (co)homológico en el libro de Bott y Tu (Diffrential forms in algebraic topology). Pero allí en vez de homología describen primero la cohomología. Luego hay que trasladar todo al ámbito homológico (por isomorfismo de De Rham).