¿Por qué es cero importantes?

Question

No estoy seguro de si esta pregunta es más apropiado aquí o en la informática teórica. Lo dejo a la sabiduría de los moderadores.

En la ciencia de la computación sitio me encontré con el siguiente (posiblemente no intencionados) pregunta:

es la cadena vacía necesaria concepto?

Esto me recordó el hecho de que los antiguos Griegos hicieron un buen trabajo en aritmética sin tener cero, sintácticamente (como un marcador de posición, como en los sistemas de numeración posicionales) o semánticamente.

Tener cero (resp. la cadena vacía) será, por supuesto, a simplificar el análisis y el razonamiento acerca de los números enteros (resp. cadenas y lenguajes formales), y la forma en que las definiciones y los teoremas pueden ser declarado.

Sin embargo, empecé a preguntarme si cambia de manera significativa en el tipo de resultados que puede ser probado, o si tenemos esencialmente las teorías mismas.

En el caso de la aritmética, supongo que esto significaría que el 0 se sustituye por 1 en los nueve axiomas de Peano, y que además, el axioma $a+0=a$ es reemplazado por $a+1=S(a)$. De hecho, se ha de dar la misma la teoría de la original axioma $a+0=a$ puede ser demostrado a partir de la nueva si se añade un nuevo número entero 0 tal que $S(0)=1$. Pero no estoy seguro de que las cosas siempre son así de simple, y la falta de cero podrían causar considerables la complejidad en la expresión de otros conceptos.

Así que mi pregunta es si este problema ha sido analizado formalmente, o si tiene algún sentido de hacer esa pregunta. Sería el poder de matemáticas visuales (otros que en la claridad expresiva) si el concepto de cero fueron de alguna manera no está disponible (asumir que algunos la iglesia tendrá que tratar con dureza con que si incluso sólo aluden a la posibilidad de que el concepto)?

En el caso de la cadena vacía, otro usuario afirmó que de no haber la cadena vacía iba a cambiar algunas de las propiedades de cadenas de caracteres, tales como la prefijación. Me afirmó que es sólo una cuestión de coherencia definiciones, y que el único cambio es en la expresividad (que es lejos de ser insignificante).

Es allí cualquier texto a discutir formalmente o informalmente este problema? Yo diría que es importante, al menos para la epistemología y la historia de las ciencias.

Answer 1

Creo que el cero no es necesario en absoluto, en el sentido de que se obtiene una estructura equivalente si se incluye o no.

Un poco más precisamente, si se considera la categoría de $\mathcal C$ de semigroups, y la categoría de $\mathcal D$ de monoids (semigroups con identidad) que satisface la condición de que $x\cdot y=e\implies x=y=e$ (donde $e$ es la identidad; tenga en cuenta que ${\bf N}$ con la adición es en $\mathcal D$, como es el semigroup de las cadenas, incluyendo la cadena vacía, pero no hay ninguna que no sea trivial grupos en allí), y luego las dos categorías son equivalentes: usted tiene un functor $F\colon \mathcal C\to \mathcal D$, la cual, dado un semigroup $S$, devuelve $S\cup \{e\}$ donde $e$ es un nuevo elemento con las operaciones definidas en la forma natural, y un functor $G\colon \mathcal D\to \mathcal C$, lo que da un monoid $S\cup \{e\}\in \mathcal D$ devuelve el subsemigroup $S$, e $F\circ G$ $G\circ F$ son tanto isomorfo a la identidad functors en las categorías respectivas.

Esto significa que un semigroup y es elemento de a $\mathcal D$ son esencialmente la misma cosa, como podemos traducir nada entre las dos categorías principalmente a la perfección.

Más modelo-en teoría, si usted tiene un trivial semigroup $S$ con dos nombrados (o definible) elementos $s_1\neq s_2$ (como $1$$2$, ambos de los cuales son definibles en los positivos números naturales, o de dos cadenas de caracteres, para que usted asuma que usted tiene los nombres de todos modos), entonces es naturalmente bi-interpretables con $\overline S=S\cup \{e\}$: se puede definir la $\overline S$ como el conjunto $\{ (s_1,s_1), (s,s_2)\mid s\in S\}$ que es definible en $(S,s_1,s_2)$ donde $(s_1,s_1)$ es destinado a ser la identidad, y la operación que hace de este conjunto de isomorfo a $\overline S$ es definible.

Esto significa que, al menos para semigroups con dos nombrados (o definible) constantes, un semigroup y el mismo semigroup con una adherido a la identidad es esencialmente el mismo desde el punto de vista lógico. Esto es problemático, sólo si realmente no queremos agregar constantes (pero en ese caso, realmente no se puede decir demasiado interesante, de todos modos), o que están trabajando con el trivial de grupo (en ese caso, usted no puede decir nada interesante).

De hecho, las cosas en los párrafos anteriores (tanto en la categoría de "teórica" y la "lógica") realmente no necesita la asociatividad, puede a la misma en cualquier conjunto con algunos operación binaria.

En resumen, la adición de identidad no realmente no es posible decir algo con sentido que no podía decir que sin ella, pero que sólo podría hacer un poco más fácil de decir algunas cosas.

Answer 2

Aquí está mi opinión sobre el asunto.

Deje $X$ denotar un conjunto. Entonces, ciertamente, para permitir vacía de subconjuntos de a $X$. De lo contrario, la intersección de dos subconjuntos de a $X$ no existen; además, la máxima subconjunto de $X$ no tienen un complemento. Básicamente, deshacerse de vacío subconjuntos de destruir todo lo que buena simetría de la powerset de celosía.

Por lo tanto, vacía de subconjuntos son realmente agradable. Pero, ¿qué es un subconjunto? En la categoría de teoría, un subconjunto de un conjunto $X$ podría ser definido como una función inyectiva $f : A \rightarrow X$ modulo algunos irrelevantes detalles. Así que si queremos que todos se han configurado para que un subconjunto vacío, entonces no había mejor ser un conjunto vacío $\emptyset$ para el dominio de $f$. Por lo tanto, el conjunto vacío $\emptyset$ es realmente importante.

Por último, dado que los números naturales se utilizan principalmente para contar el número de elementos de un conjunto finito, sería mejor incluir a $0$ en nuestra lista de números naturales.

Hay muchas otras razones para incluir a $0$ en nuestra lista, pero voy a dejar aquí por ahora.

Answer 3

Toda la matemática se puede hacer sin el 0. Muchas de las técnicas iba a ser más difícil, pero es totalmente posible. Esto sucede en la topología. Por ejemplo, para mostrar que el conjunto donde $f=g$ es cerrado en un espacio de Hausdorff, que no puede restar y establece igual a 0, porque no es la resta y no 0. Así que evitar el uso de otras propiedades.

La matemática es una forma de organizar el pensamiento humano, por lo que usted puede hacer cualquier restricción que usted desea.

Editar respondiendo a los comentarios: usted acaba de hacer la resta super complicado. Resta sólo está definida si un número es estrictamente mayor que el otro, y todos los grupos son multiplicativas. Aunque deshacerse de la 1, así que es aún más divertido.

Como para superhuge cardenales, yo me opongo a la sobrealimentación de los animales.