Si $S$ y $T$ son subconjuntos no vacíos de un grupo finito $G$, entonces o bien $G=ST$ o $|G|\geq |S|+|T|$.

Question

Ejercicio 2.29 del libro de Rotman Una introducción a la teoría de grupos.

(H.B.Mann) Sea $G$ un grupo finito, y sean $S$ y $T$ conjuntos no vacíos (no necesariamente distintos). Demuestra que o bien $G=ST$ o $|G|\geq |S|+|T|$.

Agradecería cualquier ayuda para resolver esta pregunta.

P.D. He eliminado la publicación anterior con la misma pregunta, porque era confusa. Lamento las molestias que esto pueda causarte.

Answer 1

Aquí hay un boceto de prueba:

Supongamos que $|S| + |T| > |G|$. Queremos mostrar que $G = ST$.

Fija $x \in G$, y enfoca la atención en los conjuntos $S$ y $U = \{ x t^{-1} : t \in T \}$. Primero, estos conjuntos tienen cardinales $|S|$ y $|U| = |T|$ respectivamente. Al mismo tiempo, ambos son subconjuntos de $G$, cuyo tamaño es estrictamente menor que la suma de sus cardinales. Esto implica que $S$ y $U$ tienen una intersección no vacía. ¿Puedes continuar a partir de aquí?