Cómo mostrar que $g$ alcanza su máxima en $0$ o $1$

Question

Supongamos $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es continua，definir

$$g:[0,1]\to\mathbb{R},\quad g(x):=\int_0^1|f(t)-x|dt$$

Mostrar que $g$ alcanza su máxima en $0$ o $1$.

No sé cómo se enfoque, las sugerencias?

Answer 1

Básicamente tenemos que utilizar la convexidad de g(x). Para cualquier $x,t\in(0,1)$, tenemos $$ |f(t)-x|\le x|f(t)-1|+(1-x)|f(t)| $$

Integrar en ambos lados forman $0$ $1$con respecto al $t$, obtenemos

$$ g(x)\le x\cdot g(1)+(1-x)\cdot g(0) $$.

Ahora supongamos el contrario, si no existe $x_0\in(0,1)$ tal que $g(x_0)>g(0)$$g(x_0)>g(1)$, luego

$$ x_0\cdot g(1)+(1-x_0)\cdot g(0)<g(x_0)\le x_0\cdot g(1)+(1-x_0)\cdot g(0) $$ lo cual es una contradicción.

Answer 2

Mostrar que $g$ es convexa. De esta manera se sigue desde $x \mapsto |x-c|$ es convexa.

Para mostrar ahora es que $g$ no es constante. Hay dos posibilidades.

1. Cualquiera de las $f([0,1]) \subset (-\infty, 0]$ o $f([0,1]) \subset [1,\infty)$. Y en cualquiera de estos casos, $g$ es lineal con pendiente $-1$ o $1$.
2. O, desde la $f$ es continua, existe $\epsilon,\delta>0$, $t_0\in (\epsilon,1-\epsilon)$ tal que $f([t_0-\epsilon,t_0+\epsilon]) \subset [\delta,1-\delta]$. A continuación, para $t \in [t_0-\epsilon,t_0+\epsilon]$ tenemos que $$\tfrac12|f(t)| + \tfrac12|f(t)-1| = \tfrac12 f(t) + \tfrac12(1-f(t)) = \tfrac12 \ge |f(t)-\tfrac12| + \delta $$ Ya que para todas las $t \in [0,1]$ también tenemos $$\tfrac12|f(t)| + \tfrac12|f(t)-1| \ge |f(t)-\tfrac12| $$ entonces integrando obtenemos $$ \tfrac12 g(0) + \tfrac12 g(1) \ge g(\tfrac12) + 2\epsilon\delta ,$$ y, por tanto, $g$ no es constante.

Desde $g$ es convexo y no constante, no puede alcanzar su máximo en $(0,1)$.