Probabilidad de sacar una bola negra en un conjunto de bolas negras y blancas con condiciones de sustitución mixtas

Question

Cuando se extrae una bola negra, no se sustituye en el juego, pero sí se sustituyen las bolas blancas.

He pensado en esto, con las anotaciones:

• $b$ , $w$ el número inicial de bolas blancas y negras
• $x_i = (b - i)/(b + w - i)$

La probabilidad de sacar una bola negra $Pb(n)$ después de n sorteos:

$$\eqalign{ Pb(0) &= x_0\\ Pb(1) &= (1-x_0)x_0 + x_0x_1\\ Pb(2) &= (1-x_0)^2x_0 + x_0x_1(1-x_0)+ x_0x_1(1-x_1) + x_0x_1x_2 \\ Pb(n) &= \sum\limits_{k=0}^{n-1} (\prod\limits_{i=0}^k x_i \prod\limits_{i<=k}^{n-k\ terms} 1-x_i) }$$

Esta suma parece infinita con n, incluso si algunos términos son nulos ya que $x_{i \ge b}=0$

Excepto $b=1$ :
$Pb(n) = (1-x_0)^nx_0 $

Para $b=2$ :
$Pb(n)= x_0(1-x_1)^n + x_0x_1\sum\limits_{i+j=n-1} (1-x_0)^i(1-x_1)^j$

¿Hay alguna solución conocida para este problema?

Answer 1

Sea el número inicial de bolas blancas $w$ y las bolas negras sean $b$ . La pregunta describe una cadena de Markov cuyos estados están indexados por los posibles números de bolas negras $i \in \{0, 1, 2, \ldots, b\}.$ Las probabilidades de transición son

$$p_w(i, i) = \frac{w}{w+i}, \quad p_w(i,i-1) = \frac{i}{w+i}.$$

La primera describe la extracción de una bola blanca, en cuyo caso $i$ no cambia, y la segunda describe la extracción de una bola negra, en cuyo caso $i$ se reduce en $1$ .

A partir de ahora dejemos de lado el subíndice explícito " $w$ , tomando este valor como fijo a lo largo de todo el proceso. Los valores propios de la matriz de transición $\mathbb{P}$ son

$$\mathbf{e} = \left(\frac{w}{w+b-i},\ i = 0, 1, \ldots, b\right)$$

correspondiente a la matriz $\mathbb{Q}$ dado por

$$q_{ij} = (-1)^{i+j+b} (j+w) \binom{b}{j} w^{j-b} \binom{b-j}{i} (b-i+w)^{b-j-1}$$

cuya inversa es

$$(q^{-1})_{ij} = \frac{w^{b-i} \binom{j}{b-i} (b-j+w)^{i-b}}{\binom{b}{b-i}}.$$

Eso es,

$$\mathbb{P} = \mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e})\ \mathbb{Q}^{-1}.$$

En consecuencia, la distribución después de $n$ transiciones fuera del estado $b$ viene dado por el vector de probabilidades

$$\mathbf{p}_n = (0,0,\ldots,0,1) \mathbb{P}^n = (0,0,\ldots,0,1)\mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e}^n)\ \mathbb{Q}^{-1}.$$

Es decir, la posibilidad de que haya $i$ bolas negras que quedan después de $n$ dibujar es

$$p_{ni} = \sum_{j=0}^b q_{nj} e_j^n (q^{-1})_{ji}.$$

Por ejemplo, empezando con cualquier número de bolas blancas y $b=2$ bolas negras, la distribución de probabilidad después de $n \ge 1$ dibujar es

$$\eqalign{ \Pr(i=2) &= p_{n2} &= \frac{w^n}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=1) &= p_{n1} &= \frac{2w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} - \frac{2 w^{n-1}(1+w)}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=0) &= p_{n0} &= 1 - \frac{2 w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} + \frac{w^{n-1}}{(2+w)^{n-1}}. }$$

Las curvas de esta figura siguen las probabilidades de los estados $i=0$ (azul), $i=1$ (rojo), y $i=2$ (oro) en función del número de sorteos $n$ cuando $w=5$ es decir, la urna comienza con dos bolas negras y cinco blancas.

El estado $i=0$ (quedarse sin bolas negras) es un estado de absorción en el límite como $n$ crece sin límites, la probabilidad de este estado se acerca a la unidad (pero nunca la alcanza exactamente).