Una relación binaria en $X$ es básicamente una función $X^2 \rightarrow \mathbb{B}$ donde $\mathbb{B}$ es el álgebra booleana prototípica $\{0,1\}.$ Podemos generalizar sustituyendo $\mathbb{B}$ con una estructura parcialmente ordenada más complicada. Así, tenemos:
Idea heurística. A relación generalizada en $X$ es una función $X^n \rightarrow P$ donde $P$ es un conjunto parcialmente ordenado que posiblemente tenga una estructura adicional.
Por ejemplo, un espacio métrico puede verse como un conjunto $X$ dotado de una relación generalizada $d : X^2 \rightarrow [0,\infty)$ que satisfacen los axiomas habituales.
Pregunta. ¿Se han considerado de forma sistemática las estructuras matemáticas dotadas de relaciones generalizadas? Estaría bien una referencia.
Debate . He aquí el ejemplo que más me interesa.
Supongamos que $X$ y $Y$ son conjuntos, y que $R$ es una relación binaria sobre $Y$ . Es decir, $R$ es una función $Y \times Y \rightarrow \mathbb{B}$ . Entonces la familia $Y^X$ puede dotarse naturalmente de una relación binaria generalizada $R' : Y^X \times Y^X \rightarrow \mathbb{B}^X$ definida afirmando que $R'(f,g)$ es igual a la función característica de
$$\{x \in X \mid R(f(x),g(x))\}.$$
De todos modos, la cuestión es que si $\mathcal{Y} = (Y,R)$ es una estructura relacional, entonces realmente $\mathcal{Y}^X$ no está dotada de una relación $R'$ con codominio $\mathbb{B}$ sino más bien generalizado relación que tiene codominio $\mathbb{B}^X.$ Podríamos llamar a tal bestia una "estructura relacional generalizada".
Es de suponer que los espacios métricos experimentan una generalización similar, aunque todavía estoy intentando averiguar los detalles.
