Las formas modulares y la Hipótesis de Riemann

Question

¿Hay alguna instrucción directamente sobre las formas modulares que es equivalente a la Hipótesis de Riemann para la L-funciones?

Lo que yo estoy pensando es esto: en el Mellin de transformación, la de Riemann zeta función $\zeta(s)$ corresponde a una construcción modular de la forma $f$ (de peso 1/2). La ecuación funcional de $\zeta(s)$ de la siguiente manera a partir de la transformación de la ecuación de $f$. Entonces, ¿qué es la propiedad de $f$, que sería el equivalente a la (conjetural) de la propiedad de que todos los no-trivial de los ceros de $\zeta(s)$ yacen en la línea crítica? O tal vez hay alguna declaración acerca de algunos familiares de las formas modulares que implicaría RH para $\zeta(s)$?

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@Hansen y @Anónimo: sus respuestas son apreciados. Quiero saber por qué la gente casi nunca hablar de esta cuestión, de modo que incluso la respuesta que la pregunta no es buena se agradece, siempre que también da la razón, como lo hizo.

Como Emerton sugerido, quiero saber si RH puede decirse de eigenforms directamente, en lugar de la L-funciones. No soy experto en este campo, pero a mí me parece que la analítica de las propiedades de las formas modulares son más fáciles de entender (de los de la L-funciones), así que ¿por qué no expresar RH en el espacio de las formas modulares y trabajar con ellos?

@Anónimo: ¿sabe usted de cualquier fácilmente accesible fuente de las declaraciones acerca de las familias de las formas modulares que implica RH para los zeta? No tengo acceso a MathSciNet.

Answer 1

Sé que dos declaraciones acerca de las formas modulares que son Hipótesis de Riemann-ish.

En primer lugar, tenga en cuenta que el término constante de la altura de nivel-uno no holomorphic Eisenstein serie $E_s$ es $y^s+c(s)y^{s}$, y que los polos de $c(s)$ son los mismos que los polos de $E_s$. Podemos calcular directamente que $c(s)={\Lambda(s)\\Lambda(1+s)}$ (esto depende de su precisa la normalización de la Eisenstein de la serie), donde $\Lambda$ es el completado zeta función. En realidad podemos decir algo acerca de la ubicación de los polos de $E_s$ (utilizando el espectro de la teoría de automorphic formas). Por desgracia, sólo sabemos cómo controlar los polos de ${\rm Re}(s)\ge 0$. Esto da una alternativa a la prueba de los nonvanishing de $\zeta(s)$ en el borde de la crítica de la tira (de la falta de postes de ${\Lambda ()\\Lambda(1+it)}$), pero no parece posible ir más a la izquierda (aunque no generalizar a otros $L$-funciones que aparecen como el término constante de cuspidal de datos de Eisenstein de la serie).

Segundo, los valores de las formas modulares en ciertos (Heegner) puntos en la mitad superior del plano puede estar relacionado con zeta funciones. Por ejemplo, $E_s(i)={\Lambda_{{\mathbb Q}(i)}(s)\\Lambda_{\mathbb Q}(2s)}$. El estado general es simple para expresar adelically. Tome una extensión cuadrática $k_1$ de $k$, y dejar que $H$ denotar $k_1^\times$ como $k$-$E_s$ el nivel estándar-uno de Eisenstein serie en $G=GL_2(k)$. Tomar un carácter $\chi$ en $Z_{\mathbb Un}H_k\barra invertida H_{\mathbb A}$ entonces $$\int_{Z_{\mathbb Un}H_k\barra invertida H_{\mathbb Un}}E_s(h)\chi(h)\ dh={\Lambda_{k_1}(s,\chi)\\Lambda_k(2s)}$$
donde $Z$ denota el centro de $G$, y hemos normalizado la medida en que el espacio cociente sea 1. Tenga en cuenta que dado que $H$ es un no-split toro en $G$, el cociente es compacto, por lo que la integral es finito. De hecho, el integrando es invariante (a la derecha) en virtud de un pacto abierto subgrupo de $K$ de $H_{\mathbb A}$, por lo que la integral es en realidad más de la doble coset espacio $Z_{\mathbb Un}H_k\barra invertida H_{\mathbb Un}/K$, que en realidad es un grupo finito.
Con el fin de obtener la Riemann zeta función en el numerador y en el lado derecho, usted tendría que integrar sobre una fracción de toro, que es precisamente el Mellin transformar, y que tendría la convergencia. Tenga en cuenta que si lo hizo convergencia de la transformada de Mellin de $E_s$ sería $$\int_{Z_{\mathbb Un}M_k\barra invertida M_{\mathbb Un}} E_s(a)|a|^v\ da={\Lambda(v+s)\Lambda(v+1-s)\\Lambda(2s)}$$

La segunda idea es más comúnmente discutidos en el contexto de subconvexity problemas para general $L$-funciones. (Ver Iwaniec Espectrales de los Métodos de Automorphic Formas, especialmente Chp 13.) Una clase de subconvexity resultados es el Lindelof Hipótesis, que es uno de los más fuertes implicaciones de la Hipótesis de Riemann.

Answer 2

Puede ser difícil de traducir algunas de sus propiedades, entre las formas modulares y L-funciones. Hasta donde yo sé, no hay una simple propiedad de un formato modular que es equivalente a la Hipótesis de Riemann, para su correspondiente L-función.

Aquí es un bebé problema para pensar. La función exponencial y la función gamma formar un Mellin par. ¿Cómo detectar la periodicidad de $e^{ix}$ (a elegir una conocida propiedad de la parte superior de mi cabeza) a partir de su representación integral en términos de la función gamma?

En este papel, Conrey describe un enfoque de Iwaniec de RH mediante una familia de curvas elípticas. Consulte la página 12 para Iwaniec del método, así como la celebración con algunos comentarios sobre las familias.

Answer 3

No.

Recordemos lo que las propiedades básicas de una forma modular. Una forma modular es una sección de alta tensor de potencia de una línea de paquete de más de $\Gamma \barra invertida \mathfrak{H}$ para algunos discretos cofinite $\Gamma \subconjunto \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ (holomorphic formas modulares) o un elemento de $L^2(\Gamma \barra invertida \mathfrak{H})$ (Maass formas). Una forma modular da lugar a una de Dirichlet de la serie a través de Mellin de transformación, como usted dice. Ahora, si $\Gamma$ es una congruencia de los subgrupos y la forma modular en cuestión es un eigenform de todos los operadores de Hecke, entonces es de esperar que su correspondiente L-función satisface la hipótesis de Riemann. Sin embargo, esta propiedad es muy sensible: si $f$ y $g$ son modulares eigenforms, a continuación, el sistema modular de la forma $f+10^{-10}g$ (decir) que no será un eigenform, pero se parecen mucho a como $f$. En particular, su Dirichlet de la serie se parecen mucho a la de la serie de Dirichlet para $f$, pero su RH sin duda será destruido. No hay ningún criterio válido únicamente en términos de la forma modular...

Sin embargo, la gente espera que cualquier dirichlet serie con un producto de Euler y funcional de la ecuación (y algunos otros leves propiedades) va a satisfacer RH. Usted puede buscar el "Selberg clase" de Dirichlet de la serie para obtener más información sobre esto. Por supuesto, modular eigenforms son una fuente principal de Dirichlet de la serie con Euler producto...

Answer 4

El HR para la una de la serie L de L(s) es equivalente a una afirmación acerca de la ubicación de los polos de la derivada logarítmica (log L(s))' de L(s). De esta manera se puede relacionar raíz cuadrada de ahorro en las estimaciones para el registro ponderado de las sumas parciales de las huellas de los operadores de Hecke de una determinada forma para el RH de su serie L -- por el peso de 1/2 theta series que has mencionado (cuyo Mellin transformar es zeta(2s)), esto corresponde a un mejor término de error en el teorema de los números primos. Como David Hansen señala anteriormente, las formas modulares vivir en espacios lineales pero RH no es lineal, robusto, por lo que cualquier respuesta a su pregunta se tienen que tomar algunas adicional de la estructura de los espacios (por ejemplo, la acción de la Hecke álgebra) en cuenta.

En cuanto a tu segunda pregunta, no son declaraciones acerca de las familias de las formas modulares que implica HR por zeta; véase, por ejemplo MR0633666 (y los documentos que hacen referencia a él).