¿Por qué acercarse a proporciones de estas secuencias de Fibonacci-tipo $\pi$?

Question

Definir $A_n$ $A_1=12$, $A_2=18$ y $A_n=A_{n-1}+A_{n-2}$ $n\ge3$. Igualmente definir $B_n$ $B_1=5$, $B_2=5$ y $B_n=B_{n-1}+B_{n-2}$ $n\ge3$.

Términos de $A_n$: $12, 18, 30, 48, 78,\dots$

Términos de $B_n$: $5, 5, 10, 15, 25,\dots$

He encontrado que dividir elemento $A_n$ $B_n$ donde $n$ enfoques $\infty$aparece como resultado:

$$\lim\limits_{n\to \infty}\left ( \frac{A_n}{B_n} \right ) = \pi$$

Mi pregunta es, ¿por qué la relación parece converger hacia $\pi$, y cuál es el significado de $5, 12, 18$ en cuanto a por qué sucede esto?

Answer 1

La proporción correcta es $\frac{6\phi^2}5=3.14164079$, que está notable cerca de $\pi$. $6/5$ Viene porque los valores de partida son $6,6$ en un y $5,5$ en el otro. $\phi^2$ Viene porque las secuencias son cambiados de puesto dos pasos uno del otro, ambos 6 aparecen antes de los 5.

Answer 2

Recurrencias de la forma

$$T_n=T_{n-1}+T_{n-2}$$ are linear and known to have a general solution of the form $$T_n=C_0z_0^n+C_1z_1^n,$$ where $z_0,z_1$ are the roots of the "characteristic equation", $z^2=z+1$.

Las fórmulas habituales,

%#% $ De #% usando las condiciones iniciales,

$$z_0,z_1=\frac{1\pm\sqrt5}2.$$

$$T_0=C_0+C_1,\\T_1=C_0z_0+C_1z_1.$, El primer término domina rápidamente y

$|z_0|>|z_1|$$

En su caso, con un % grande $$T_n\approx\frac{T_1-z_1T_0}{z_0-z_1}z_0^n.$,

$n$$