Álgebras de Heyting y Ley distributiva infinita

Question

Quiero demostrar que «un enrejado completo cumple la Ley distributiva infinita $a\wedge(\vee{S})=\vee\{a\wedge s|s\in S\}$ iff es un álgebra de Heyting".

Probé la parte "if" pero no "sólo si" parte.

Define $a\rightarrow b$ $(\vee \{s|a\wedge s=0\})\vee b$ e intenté probar $a\rightarrow a=1$ pero falló.

Answer 1

En el interés de tener una respuesta disponible para alguien que llega a esta página, he escrito la siguiente respuesta.

Recordemos que un almacén de celosía $L$ es un álgebra de Heyting cuando para cada una de las $a$ $b$ $L$ existe un elemento $a \to b$ con la propiedad de que para cada una de las $w$ en $L$, $w \leq a\to b \Leftrightarrow a \wedge w \leq b$.

Ahora supongamos que $L$ es un completo entramado de satisfacer la infinita la distributividad de la ley. Veamos que la definición correcta de la implicación es $a \to b = \vee \{s\,|\,a\wedge s \leq b\}$. Si $w \leq a \to b$,$a \wedge w \leq a \wedge (\vee \{s\,|\,a\wedge s \leq b\}) = \vee\{a\wedge s\,|\,a\wedge s \leq b\}\leq b$. Por el contrario, si $a \wedge w \leq b$, entonces trivialmente $w \leq a \to b$ (desde $w \in \{s\,|\,a\wedge s \leq b\}$).

El hecho de que cada celosía $L$ que es un álgebra de Heyting satisface el infinito distributiva de la ley se deduce del hecho de que para cada una de las $a$$L$, los mapas definidos por $s \mapsto a\wedge s$ $s \mapsto (a \to s)$ son la izquierda y la derecha se adhiere de una conexión de Galois.

Recordemos por qué esto es así. Supongamos que $X$ $Y$ están parcialmente orderded conjuntos, y que $f:X\to Y$ $g:Y\to X$ son monótonas (es decir, el fin de la preservación de los mapas, podemos decir que $f$ $g$ son parte de una conexión de Galois al $f(x) \leq y \Leftrightarrow x \leq g(y)$. Cuando este es el caso de la $f$ se llama la izquierda (o inferior) adjunto (de $g$) y $g$ es lo que se llama el (o superior) adjunto (de $f$). Es fácil ver que el infinito la distributividad de la ley anterior, responde al hecho de que la izquierda adjoints $s\mapsto a\wedge s$ preservar une. Vamos a demostrar que la izquierda adjoints conservar siempre une. Supongamos que la combinación de $S \subseteq X$ existe en $X$ y supongamos que para algunos $w\in Y$ que para cada $s \in S$, $f(s)\leq w$. Mediante la conexión de Galois tenemos para cada $s \in S$, $s \leq g(w)$ y, por tanto,$\vee S \leq g(w)$. Mediante la conexión de Galois de nuevo tenemos que $f(\vee S) \leq w$ demostrando que $f(\vee S)=\vee\{ f(s)\,|\,s\in S\}$.

Acabemos haciendo varios comentarios:

• La primera parte de esta respuesta también puede ser formulada como parte de una teoría más general. Supongamos que $f: X\to Y$ es monótona mapa entre conjuntos parcialmente ordenados. Si $f$ conserva arbitrarias une (es decir, cualquiera de ellos existen) y para cada una de las $y$$Y$, la combinación de $\{x\,|\,x \in X, f(x) \leq y\}$ existe, $f$ es la izquierda adjunto de una conexión de Galois con derecho adjoint $g$ definido por $g(y) = \vee\{x\,|\,x \in X, f(x) \leq y\}$.
• Todo puede ser generalizer aún más mediante la sustitución parcial de las órdenes y la monotonía de los mapas por categorías y functors.