¿Cómo resuelves $f'(x) = f(f(x))$?

Question

Un amigo me dijo que resolver la siguiente ecuación diferencial:

$$f'(x)=f(f(x))$$

¡No tengo ni idea cómo solucionar el problema! Esto no parece ser una ecuación diferencial ordinaria y aún no puedo solucionar esto numéricamente.

Creo que mi amigo me es trolling.

Answer 1

Esta pregunta se ha hecho en MathOverflow, esta respuesta se migra desde allí: -

Hay dos soluciones de forma cerrada:

$$\displaystyle f_1(x) = e^{\frac{\pi}{3} (-1)^{1/6}} x^{\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}}$$ $$\displaystyle f_2(x) = e^{\frac{\pi}{3} (-1)^{11/6}} x^{\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}}$$

La solución técnica se puede encontrar en este documento.

Para un caso general, la solución de la ecuación

$$f'(z)=f^{[m]}(z)$$

tiene la forma

$$f(z)=\beta z^\gamma$$

donde $\beta$ $\gamma$ debe ser obtenido del sistema

$$\gamma^m=\gamma-1$$ $$\beta^{\gamma^{m-1}+...+\gamma}=\gamma$$

En su caso $m=2$.

Nota: simplemente me trajo esto a su atención, todo el crédito debe ir a Anixx en MO.