Derivado de la función zeta de Riemann para $Re(s)>0$ .

Question

La función zeta de Riemann puede ser continuada analíticamente para $Re(s)>0$ por la suma infinita $$ \zeta (s)= \frac {1}{1-2^{1-s}} \sum_ {n=1}^ \infty\frac {(-1)^{n-1}}{n^s}.$$ ¿Podemos diferenciar esto con respecto a $s$ para obtener el derivado $ \zeta '(s)$ para $Re(s)>0$ ?

Asumiendo que la suma satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, he llegado a lo siguiente:

$$ \zeta '(s) = \sum_ {n=1}^ \infty\frac {(-1)^n2^sn^{-s} \left [ \log (4)+(2^s-2) \log (n) \right ]}{(2^s-2)^2},$$

pero, ¿sigue siendo esto válido para $Re(s)>0$ ?

Answer 1

Sí, porque $$ \frac {1}{1-2^{1-s}} \sum_ {n=1}^ \infty\frac {(-1)^{n-1}}{n^s}$$ es meromórfico en el medio plano $s>0$ con un poste en $s=1$ . Ten en cuenta que como tienes un poste en $s=1$ ninguna de las dos fórmulas es válida en $s=1$ así que debería ser el medio plano perforado $s>0$ con el punto $s=1$ removido.

Answer 2

La expansión de Taylor alrededor de $x=0$ de $(1+x)^{-s}$ nos da :

$$n^{-s} - (n+1)^{-s} \sim s \; n^{-s-1}$$

así que..: $$ \sum n^{-s} (-1)^{n+1} = \sum (2n-1)^{-s} - (2n)^{-s} = \mathcal {O} \left (s \sum (2n)^{-s-1} \right )$$

que es una serie de Dirichlet absolutamente convergente y, por lo tanto, holomórfica (los derivados siguen siendo absolutamente convergentes).