Si $\Omega$ es un dominio simplemente conexo en $\mathbb R^n$ y $f$ es una función continua inyectiva de $\Omega$ a $\mathbb R^n$, ¿es necesario que $f(\Omega)$ sea un dominio simplemente conexo?
Respuestas
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Esto es cierto por invarianza de dominio. Dado que $f$ es inyectiva y continua, su inversa es una función continua de $f(\Omega)$ a $\Omega$. Por lo tanto, cualquier trayectoria $\gamma$ en $f(\Omega)$ puede ser levantada a una trayectoria $\gamma'=f^{-1}\circ\gamma$ en $\Omega$. Dado que $\Omega$ es simplemente conexo, existe una función continua $g:[0,1]^2\to\Omega$ que contrae $\gamma'$ a un punto, y dado que $f$ es continua, esto da como resultado una función continua $f\circ g$ que contrae $\gamma$ a un punto.
Como Henning ha señalado en un comentario, puedes omitir los detalles si sabes que ser simplemente conexo es un invariante topológico.
hheimbuerger
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Vale la pena señalar que una modificación muy ligera, donde permitimos que la dimensión del espacio ambiente sea diferente, hace que la respuesta sea "no".
Si $\Omega$ es un dominio simplemente conexo en $\mathbb{R}^n$ y $f$ es una aplicación continua inyectiva de $\Omega$ a $\mathbb{R}^m$, entonces $f(\Omega)$ no es necesariamente un dominio simplemente conexo.
Un ejemplo es dado por la "figura 6", considerada como una aplicación desde un intervalo abierto en $\mathbb{R}^1$ hacia $\mathbb{R}^2".
