Entender las múltiples contribuciones de instanton al túnel vacío en un pozo de potencial doble

Question

Estoy tratando de comprender el método de cálculo de la probabilidad de transición de un estado de vacío a otro en un doble bien potencial, utilizando instantons. La referencia que estoy siguiendo es Sidney Coleman del libro "Aspectos de la simetría".

El enfoque que utiliza la ruta integral de la formulación de QM y nos fijamos en la semi-clásica límite de pequeño $\hbar$. En este límite de nuestra ruta integral está dominado por los puntos estacionarios de la (euclidiana) de acción. La resolución de la ecuación de movimiento que encontrar un número infinito de una sola instanton soluciones (cada uno diferente por un cambio en el tiempo el origen de la instanton) a partir de un vacío, y terminando en el otro.

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Por ejemplo, si yo tomo un potencial de la forma

$V = \lambda(x^2-a^2)^2~~~$ y definen $~~~\omega^2 = 8\lambda a^2$

nuestra solución para la E. O. M $~x(-\infty) = -a~$ $~x(\infty) = a~$ sería

$x(t) = a\tanh\left(\frac{\omega}{2}(t-t_c)\right)$

donde $t_c$, el centro de la instanton es arbitraria.

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Coleman, a continuación, introduce otros "aproximado puntos estacionarios" que son efectivamente instanton/antiinstanton cadenas que comienzan en un vacío y terminar en el otro. Coleman, a continuación, continúa su análisis mediante la suma de todos estos aproximado de punto fijo contribuciones a la original de una sola instanton punto fijo plazo.

Mi pregunta es la siguiente: ¿en qué sentido son varios de estos instanton/antiinstanton soluciones "aproximado puntos estacionarios"? (¿Hay algún límite que puedo tomar, donde se convierte en exacta, o podría alguien explicar por qué estas rutas no tienen una mínima contribución a la ruta de acceso integral a diferencia de otros caminos?)

Answer 1

La razón por la clásica soluciones de agregar un "mucho" a la ruta integral es que su acción (fase) es estacionaria, es decir, casi la misma fase de la acción (fase) en su razonablemente grande inmediaciones de la configuración del espacio; uno se interferencia positiva como consecuencia de ello. Más genérico rutas de cancelar con las adyacentes cuyas fases son diferentes y aleatorios.

La exacta de la estacionariedad de la acción significa que uno tiene soluciones clásicas. Uno también puede considerar la posibilidad de aproximar las soluciones de configuraciones que resolver las ecuaciones de movimiento hasta los errores relativamente pequeños – y para estos aproximado de soluciones, uno todavía consigue positivo interferencia con cercanos soluciones, pero menos perfecto. La acción es de aproximadamente estacionaria alrededor de estas soluciones aproximadas; $\delta S$ contiene no sólo los términos de la orden de $[\delta x(t)]^2$ y los poderes superiores, sino también a$a\cdot \delta x(t)$, pero los coeficientes de $a$ son muy muy pequeño, por lo que para ciertos fines, se debe ACEPTAR para aproximar $a\sim 0$ y considerar estas cosas soluciones (o puntos estacionarios).

Para el instanton/antiinstanton cadenas, el error en estas soluciones aproximadas va a cero si el instantons y antiinstantons están separados unos de otros por una distancia infinita (por la distancia, me refiero a la $t$ dirección en su forma pura-temporales ejemplo de torceduras). Cuando estas cadenas de instantons y antiinstantons son realmente muy separados, la solución es casi exacto: $x(t)$ casi por completo cuando llega a la última estable puntos de $\pm a$.

Cuando el instantons y antiinstantons están más cerca unos de otros, el error por el cual esta configuración deja de ser una solución se hace más grande porque la configuración de las fuerzas de $x(t)$ a revertir la dirección del bien antes de que llegue a $x(t)=\pm a$, lo que significa que algunos de los "adicionales" aceleración (violando el original de las ecuaciones de movimiento) tuvo que ser añadido. Cuando la distancia entre las piezas de la cadena obtiene infinito, uno instanton en la cadena se utiliza casi en toda su longitud y $x(t)$ recibe casi constante como lo hace, por $|t-t_c|\to\infty$ por un antiinstanton que significa que uno puede pegar el instanton y antiinstanton.

Claramente, la aproximación en la que las cadenas son "soluciones" sólo es buena si $\omega\Delta t\gg 1$. Podemos reemplazar $\gg$ $\gt$ a definir una convención de las configuraciones que nos permiten. Sin embargo, debemos darnos cuenta de que no hay un único procedimiento sistemático para lidiar con estas cadenas-de-instantons contribuciones. La importancia de estos en la cadena de configuración es que están ahí y que seguramente no contribuyen en algo a la ruta integral, mientras que están perdidas por todos los perturbativa de términos; y se perdió por el solo instanton términos, demasiado. Así que ellos son importantes para aquellos procesos para los cuales son importantes y para que el perturbativa y instanton términos no contribuyen demasiado. La frase anterior es una tautología, pero también se entiende como un estímulo para pensar, porque cuando uno piensa un poco, se puede determinar qué tipo de procesos son sensibles a estas cosas.