En anillos de semisimple

Question

Deje $R$ denotar un anillo con unidad.

Sé que, si $R$ es semisimple, entonces cada $R$-módulo es semisimple. En particular, la clase de indecomposable $R$-módulos coincide con la clase de simple $R$-módulos (Si $N$ es indecomposable y semisimple, entonces es simple).

Me preguntaba si el converso tiene. Precisamente: si todos los indecomposable $R$-los módulos son simples, podemos deducir que $R$ es un anillo semisimple?

En particular, esto es equivalente a tratar de demostrar que $R$ es totalmente degradables, es decir, una suma directa de indecomposable (de ahí simples) $R$-módulos.

Answer 1

Esto no es cierto en general. Por ejemplo, supongamos $R$ es un valor Booleano anillo (anillo, en la que cada elemento es idempotente; este tipo de anillo es automáticamente conmutativa). Si $M$ $R$- módulo, a continuación, para cualquier $r\in R$, $M=rM\oplus (1-r)M$. Si $M$ es indecomposable, vamos a $I$ ser el destructor de $M$; entonces para cualquier $r\in R$, $r\in I$ o $1-r\in I$. De ello se deduce que el cociente del anillo de $R/I$ es isomorfo a $\mathbb{F}_2$. Desde $M$ es un indecomposable $R/I$-módulo, debemos tener $M\cong R/I$, e $M$ es simple.

Sin embargo, si $R$ es infinito, $R$ no será semisimple. De hecho, el argumento de arriba, cada simple $R$-módulo tiene dos elementos, por lo que cada finitely generado semisimple $R$-módulo debe ser finito. Un ejemplo sencillo de un infinito anillo Booleano es un producto de $R=\mathbb{F}_2^I$ para cualquier conjunto infinito $I$ (de hecho, cada anillo Booleano es un sub-anillo de un producto).

Más generalmente, se tiene el siguiente teorema:

Teorema: Vamos a $R$ ser un anillo conmutativo. A continuación, los siguientes son equivalentes:

1. Cada indecomposable $R$-módulo es simple.

2. De todos los ideales en $R$ es generado por idempotents.

3. $R$ es reducido y cada una de las prime ideal en $R$ es máxima.

He aquí un esbozo de la prueba. Para probar ($2\Rightarrow 1$), se utiliza un argumento similar al argumento dado anteriormente en el caso de que $R$ es Booleano. Para probar ($1\Rightarrow 3$), tenga en cuenta que la localización de la $R$ en cualquier prime es indecomposable, por lo que (1) implica la localización de $R$ en cualquier prime es un campo, el cual puede ser visto fácilmente implicar (3). Para probar ($3\Rightarrow 2$), muestran que si cada prime en $R$ es máxima, a continuación, $X=\operatorname{Spec}(R)$ es de Hausdorff. Cada afín a abrir subconjunto de $X$ es compacto, y por lo tanto cerrado en $X$ desde $X$ es de Hausdorff. Entonces, uno puede utilizar la correspondencia entre clopen subconjuntos de a $X$ y idempotents en $R$ y el hecho de que $R$ se reduce a mostrar que cada director ideal en $R$ es generado por un idempotente. De ello se desprende que cada ideal generado por idempotents.