simple conexión y abelian C * álgebra

Question

Por Teorema de Gelfand-Neumark, sabemos que propiedades topológicas de un % de espacio de Hausdorff compacto $X$se codifican en la abelian $C^*$-álgebra de funciones continuas de valor complejo en $X$ (con $||f||= \sup |f|$). Por ejemplo, la existencia de idempotents no trivial implicaría que el % de espacio $X$no está conectado.

¿Hay una descripción tan algebraica para determinar si $X$ es simplemente conectado o no?

Answer 1

Yo no soy realmente un experto en la no-conmutativa punto-set/topología algebraica (pero yo solía pensar que es una cantidad decente). Así que tome mi respuesta con eso en mente.

Así que el tonto respuesta es sí, y la más interesante respuesta es no.

Específicamente, El Gelfand correspondencia establece un contravariante de equivalencia de categorías entre compacto Hausdorff espacio continuo con mapas y unital abelian $C^*$-álgebras de con $*$-homomorphisms. Así que a través de esto usted puede relajarse (viento?) la definición de simplemente conectado aunque esta equivalencia para obtener una caracterización en términos de los asociados $C^*$-álgebras. Así que sería algo como $A$ es simplemente conectado si cada mapa $\phi:A\rightarrow C(S^1)$ es homotópica a la constante de mapas. Donde $C(S^1)$ funciones continuas en el círculo y se nota que homotopy no se traducen bien en el $C^*$algebraicas marco.

Sin embargo, esto no es particularmente útil. De hecho, lo que creo que estás preguntando "¿hay una caracterización de lo que es útil para no abelian $C^*$-álgebras". Este es el caso de la conexión que te dan arriba.

Aquí creo que la respuesta es no y, de hecho, voy a decir algo más fuerte. Creo que no puede haber tal caracterización (Aquí estoy siendo un poco más audaz). La razón es debido a la contravarianza de la equivalencia. En particular, cualquier invariante topológico que viene a partir de los mapas de algunas espacio de $X$ (en el caso anterior $S^1$) para el espacio que desee $Y$ no aguanta nada fructífero para general $C^*$-álgebras. Porque en el nivel de las álgebras de obtener un mapa de $C(Y)\rightarrow C(X)$. Así, para que esto funcione para cualquier $C^*$-álgebras sería, en particular, tienen que trabajar para no abelian simple (estos son en gran parte de su interés). Y ellos no pueden tener morfismos en abelian álgebras.