¿Mapa conforme del disco unitario perforado sobre el disco unitario?

Question

Recuerdo haber visto esta afirmación, no recuerdo dónde (tal vez en Lang's Complex). ¿Es esto cierto o tengo una memoria defectuosa? Siempre estuvo en algún lugar de mi mente pero nunca lo creí. ¿Es cierto que existe un mapa conformado desde el disco unitario perforado hacia el disco unitario?

Answer 1

Hay un surjective mapa conformacional, aunque (en oposición a biyectiva que es lo que Soarer tiene en mente en su respuesta). Basta con componer una biyección holomorfa desde el disco al semiplano superior con $z\mapsto e^{i z}$ .

(Hice un video mostrando las imágenes bajo el mapa $z\mapsto\exp\frac{z-1}{z+1}$ que es una suryección del disco unitario al disco unitario perforado, de los círculos centrados en $0$ . Se puede ver en él cómo consigue evitar el origen). (El archivo no durará para siempre en esa ubicación... si alguien puede subirlo a algún sitio, sería genial).

Más tarde En cualquier caso, este es el código de Mathematica que he utilizado:

Animate[
 ParametricPlot[
   With[{z = r Exp[I theta]},
   Through[{Re, Im}[Exp[(z - 1)/(z + 1)]]]
   ],
  {theta, 0, 2 \[Pi]},
  ImageSize -> Medium, PlotRange -> {{-1, 1}, {-1, 1}},
  PlotPoints -> 1000, Ticks -> False
  ],
 {r, 0, 0.999, 0.001}
 ]

Answer 2

Sé que esta es una pregunta antigua, con la que me he tropezado, pero me parece que las respuestas actualmente abordan dos cuestiones. A menudo en el análisis complejo "mapa conforme" se utiliza de forma equivalente a "mapa biholomorfo", así que permítanme evitar cualquier confusión utilizando los términos "isomorfismo conforme" y "localmente conforme".

• No existe un isomorfismo conforme entre el disco unitario y el disco perforado, ya que uno es simplemente conectado y el otro no. (Respuesta de Soarer).
• Existe un mapa localmente conforme desde un dominio simplemente conectado (y, por tanto, desde el disco) hacia el disco perforado, a saber, el mapa exponencial. Por supuesto, esto es cierto para cualquier dominio que omita al menos dos puntos, debido al teorema de la uniformización.

Sin embargo, ninguna de las dos respuestas aborda la pregunta original tal y como yo la entiendo, a saber: ¿existe un mapa localmente conforme desde el disco perforado hacia el disco unitario?

En cambio, podemos preguntar: ¿existe un mapa localmente conforme $\phi$ del disco de la unidad $D$ sobre sí mismo que no sea un isomorfismo conforme? Si tal mapa existe, dejemos que $z$ y $w$ sean puntos con $\phi(z)=\phi(w)$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $z=0$ y $\phi\colon D\setminus\{0\}\to D$ tiene la propiedad deseada.

Por supuesto, por el teorema de los mapas de Riemann, podemos simplemente buscar un mapa localmente conforme de un dominio simplemente conectado $U$ en otro dominio de conexión simple $V$ . Ver que ese mapa existe es un bonito ejercicio. Hay que imaginar que se dibuja un dominio simplemente conectado en una cubierta de tres hojas del plano (con dos puntos de ramificación diferentes) cuya proyección al plano es simplemente conectada.

Creo que esta cobertura puede ser realizada por un polinomio cúbico $p$ con dos puntos críticos. Es decir, existe un dominio simplemente conectado $V$ que no contenga ningún punto crítico tal que $p\colon V\to p(V)$ no es inyectiva, y $p(V)$ es de conexión simple.

Answer 3

No, porque el disco perforado no está simplemente conectado.