Mínimo polinomio de $\frac{\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}}{\sqrt{3}}$

Question

Estoy luchando para encontrar el polinomio mínimo de a $\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}}{\sqrt{3}}$. ¿Alguien tiene alguna sugerencia?

Gracias,

Katie.

Answer 1

Un posible procedimiento que funciona en general es primero encontrar algunos polinomio que tiene este número como su raíz. E. g. usted puede iniciar como $$ \alpha=\frac{\sqrt{2}+5^{1/3}}{\sqrt{3}}\Rightarrow (\sqrt{3}\alpha\sqrt{2})^3=5, $$ para deshacerse de la raíz cúbica, a continuación, factor $\sqrt{2}$ y deshacerse de eso, etc. Finalmente, usted terminará para arriba con algunos polinomio, que podría no ser irreductible. Descomponer en factores irreducibles y comprobar que uno de ellos está satisfecho por $\alpha$. Si son inteligentes a la hora de derivar el polinomio inicial, tendrá muy pocos irreductible factores. También, creo que de antemano qué grado puede esperar que su polinomio mínimo para tener.

Answer 2

Uno puede calcular el polinomio mínimo utilizando resultantes o bases de Grobner. Pero que es un poco excesivo para ello ya que se puede realizar con bastante franqueza con la mano. Es decir, vamos a $\rm\ y = \sqrt{2}+\sqrt[3] 5\:.\ $ $\rm\: (y-\sqrt 2)^3 = 5\:,\:$ es decir $\rm\:y^3 + 6\ y - 5 - (3\ y^2 + 2)\ \sqrt{2} = 0\:.\:$ Multiplicando eso por su conjugado rendimientos $\rm\: y^6 - 6\ y^4 -10\ y^3 + 12\ y^2 -60\ y + 17 = 0\:.\:$ Poner $\rm\ y = \sqrt{3}\ x\:,\:$ luego multiplicando eso por su conjugado rendimientos $\rm\:729\ x^{12} -2916\ x^{10} + 4860\ x^8 - 5670\ x^6 -11340\ x^4 - 9576\ x^2 + 289 = 0\:.$

Answer 3

Existe un procedimiento sistemático para encontrar un polinomio que aniquila una expresión algebraica elemento de un campo de extensión y que no implica ad hoc de la manipulación.Ya que rara vez es mencionado en los libros de texto (excepto, a veces, en los ejercicios), voy a describirlo. Funciona incluso para los elementos $a\in A$ de un número finito de dimensiones álgebra conmutativa $A$ sobre el campo de $k$.

Considerar en el subalgebra $k[a]\subset A$ el endomorfismo $\mu_a:k[a]\to k[a]:x\mapsto ax$. Se tiene un polinomio característico $\chi (X)=\chi _{\mu_a}(X)=det( XId-\mu_a) \in k[X]$, lo que, por Cayley-Hamilton teorema, aniquila $\mu_a$ y por lo tanto también es $a$. [Aquí hay un ejemplo de aclarar la última afirmación. Si $ \mu_a^3+7\mu_a^4-2Id=0\in End(k[a])$, entonces, aplicando el endomorphisms a ambos lados de la igualdad a la unidad el elemento $1_A$, obtenemos $a^3+7a^4-2.1_A=0 \in A$]

Ahora que hemos encontrado un aniquilador polinomio $\chi (X)$, el polinomio mínimo de a $a$ es el mismo que el de $\mu_a$ y se pueden encontrar, como ya se ha mencionado, por la descomposición de $\chi (X)$ en factores irreducibles y hacer un número finito de pruebas para ver que los divisores de $\chi (X)$ aún matar a $a$. [Ten en cuenta que si el álgebra $A$, no es un campo, el polinomio mínimo de a $a$ no tiene por qué ser irreductible!]

Answer 4

¿Cuáles son los conjugados de este número? Sus funciones elementales son los coeficientes del polinomio mínimo.

Sugerencia: los conjugados de La $\sqrt 2$$\pm \sqrt 2$. Los conjugados de la $\sqrt 3$$\pm \sqrt 3$. Los conjugados de la $\sqrt[3] 5$ $\omega \sqrt[3]5$ donde $\omega^3=1$. Combinar todas esas y te dan todos los conjugados de la cantidad en cuestión. El polinomio mínimo es $\prod (X-\alpha)$ donde $\alpha$ se ejecuta a través de los conjugados.

Answer 5

También he usado WolframAlpha para obtener el polinomio mínimo
$$289 - 9576x^2 - 11340x^4 - 5670x^6 + 4860x^8 - 2916x^{10} + 729x^{12}$$

Alternativamente, en Mathematica:
En primer lugar[RootReduce[(Sqrt[2] + 5^(1/3))/Sqrt[3]]][x] // InputForm

Cuando estoy lidiando con un montón de algebraics, yo siempre uso RootReduce porque es la manera más consistente para eliminar duplicados.