La función de $\Phi:(0,\infty) \mapsto \mathbb{R}$ se define como sigue. Ponemos a $\Phi(x):=1$ si $x \ge 1$. Deje que la función de $\Phi$ satisfacer $$\Phi(x)=\int_0^x \Phi\left(\frac t {1-t}\right) \frac {dt} t $$ if $x <1.$ What is the asymptotics of $\Phi(x)$ as $x\downarrow 0$?
Respuesta
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Este es el Dickman función (referencias: 1, 2). Análisis asintótico se realiza generalmente en términos de la función $\rho(u)$ definido por $\rho(u) = \Phi(1/u)$. Xuan (ecuación 1.6) da el presupuesto $$\rho(u) = \exp \left( -u \log u - u \log \log u +u - \frac{u \log \log u}{\log u} +O\left( \frac{u}{\log u} \right) \right).$$ Xuan de la cites papeles de Hua y de Bruijn, ninguno de los que tengo fácil acceso. En Wikipedia se afirma sin citación que $\rho(n) < 1/n!$ es fácil de probar.
También recuerdo una buena discusión de este en el Volumen 2 de el Arte de la Programación de la Computadora, por Donald Knuth.
